Contents
- ページ1
- 1 2進数を4進数に変換する問題
- ページ2
- 1 $n$ 進数の桁数に関する問題
- ページ3
- 1 $n$ 進法と場合の数
$n$ 進法と場合の数
2019年 慶應義塾大この問題では2進法で数を表記する場合には，$101_{(2)}$ のように，添字に(2)と書くことにする。添字のない数はすべて10進法表記の数である。また，解答欄に書く数字はすべて10進法表記で書くものとする。
(1) 6桁の2進法表記の数の中で，$101010_{(2)}$ のように1が3つ使われる数は $\myhako$ 個ある。なお，数の表記では先頭の0は省略するため，$001101_{(2)}$ は6桁の数ではなく4桁の数 $1101_{(2)}$ である。
(2) 10桁の2進法表記の数の中で1が4つ使われる数をすべて合計すると $\myhako$ である。
(3) 1000以下の正の整数のうち，2進法で表記すると1が4つ使われる数は $\myhako$ 個ある。
(1) 6桁の2進法表記の数の中で，$101010_{(2)}$ のように1が3つ使われる数は $\myhako$ 個ある。なお，数の表記では先頭の0は省略するため，$001101_{(2)}$ は6桁の数ではなく4桁の数 $1101_{(2)}$ である。
(2) 10桁の2進法表記の数の中で1が4つ使われる数をすべて合計すると $\myhako$ である。
(3) 1000以下の正の整数のうち，2進法で表記すると1が4つ使われる数は $\myhako$ 個ある。
【(1)の考え方と解答】
6桁の6つの数字の中で3つが1だから「$\nCk{6}{3}$」と考えた人は，もう少し落ち着いて考えよう。今回は問題文にも書かれているように「数の表記では先頭の0は省略する」とあるため，6桁の2進数であれば先頭は必ず1であることに注意しよう。
つまり，$1□□□□□_{(2)}$ となるから，条件を満たすのは5つの□のうち2つが1のときだから，
6桁の6つの数字の中で3つが1だから「$\nCk{6}{3}$」と考えた人は，もう少し落ち着いて考えよう。今回は問題文にも書かれているように「数の表記では先頭の0は省略する」とあるため，6桁の2進数であれば先頭は必ず1であることに注意しよう。
つまり，$1□□□□□_{(2)}$ となるから，条件を満たすのは5つの□のうち2つが1のときだから，
\begin{align*}
\nCk{5}{2}=10~個
\end{align*}
\nCk{5}{2}=10~個
\end{align*}
ヒロ
組合せの総数の求め方を復習したい人は次の記事を参考にして欲しい。
(2) 10桁の2進法表記の数の中で1が4つ使われる数をすべて合計すると $\myhako$ である。
【(2)の考え方と解答】
それぞれの位で分けて考えよう。まず，「10桁の2進数」だから一番左の位は必ず1である。
(1)と同じように数えると，このような数は $\nCk{9}{3}$ 個ある。したがって，一番左の位の和は $2^9\times\nCk{9}{3}$ ということである。
同じようにして，左から2番目の位が1になる数が何個あるかを数えよう。一番左の位と左から2番目の位以外の8つの位のうち，2つが1になるから，$\nCk{8}{2}$ 個ある。つまり，左から2番目の位の和は $2^8\times\nCk{8}{2}$ である。
このように他の位の和も考えていくと，求める和は
それぞれの位で分けて考えよう。まず，「10桁の2進数」だから一番左の位は必ず1である。
(1)と同じように数えると，このような数は $\nCk{9}{3}$ 個ある。したがって，一番左の位の和は $2^9\times\nCk{9}{3}$ ということである。
同じようにして，左から2番目の位が1になる数が何個あるかを数えよう。一番左の位と左から2番目の位以外の8つの位のうち，2つが1になるから，$\nCk{8}{2}$ 個ある。つまり，左から2番目の位の和は $2^8\times\nCk{8}{2}$ である。
このように他の位の和も考えていくと，求める和は
\begin{align*}
&2^9\Cdota\nCk{9}{3}+(2^8+2^7+\cdots+2+1)\Cdota\nCk{8}{2} \\[4pt]
&=512\Cdota\dfrac{9\Cdot8\Cdot7}{3\Cdot2\Cdot1}+(256+128+64+32+16+8+4+2+1)\Cdota\dfrac{8\Cdot7}{2\Cdot1} \\[4pt]
&=512\Cdota84+511\Cdota28 \\[4pt]
&=43008+14308=57316
\end{align*}
&2^9\Cdota\nCk{9}{3}+(2^8+2^7+\cdots+2+1)\Cdota\nCk{8}{2} \\[4pt]
&=512\Cdota\dfrac{9\Cdot8\Cdot7}{3\Cdot2\Cdot1}+(256+128+64+32+16+8+4+2+1)\Cdota\dfrac{8\Cdot7}{2\Cdot1} \\[4pt]
&=512\Cdota84+511\Cdota28 \\[4pt]
&=43008+14308=57316
\end{align*}
(3) 1000以下の正の整数のうち，2進法で表記すると1が4つ使われる数は $\myhako$ 個ある。
【(3)の考え方と解答】
まずは1000を2進法で表そう。
まずは1000を2進法で表そう。
\begin{align*}
1000&=1024-24 \\[4pt]
&=2^{10}-2^4-2^3 \\[4pt]
&=1111101000_{(2)}
\end{align*}
上5桁がすべて1だから，10桁のうち，どの4つの桁を1にしても $1111101000_{(2)}$ より小さい数である。したがって，求める個数は1000&=1024-24 \\[4pt]
&=2^{10}-2^4-2^3 \\[4pt]
&=1111101000_{(2)}
\end{align*}
\begin{align*}
\nCk{10}{4}=\dfrac{10\Cdot9\Cdot8\Cdot7}{4\Cdot3\Cdot2\Cdot1}=210
\end{align*}
\nCk{10}{4}=\dfrac{10\Cdot9\Cdot8\Cdot7}{4\Cdot3\Cdot2\Cdot1}=210
\end{align*}