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【数学Ⅰ】定期テストに出題される2文字の対称式に関する問題

【数学Ⅰ】定期テストに出題される対称式に関する問題数学IAIIB
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対称式については,高校数学の教科書に載っていないことが多く,塾などで対称式について初めて聞く人もいると思います。

対称式という言葉を知らなくても,問題を解くことはできますが,多くの問題集や参考書の解説にも出てくる言葉なので「対称式」について知っておくことも大切でしょう。

この記事では,実際に定期テストに出題された対称式に関する問題を解説していきます。

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対称式とは

ヒロ
ヒロ

対称式とは何かを説明しておくよ。

2文字の対称式$x+y$ や $xy$ のように $x$ と $y$ を入れ替えても元の式と変わらない式を対称式という。2文字の対称式のポイントは次の2つ。

  • $x+y$ と $xy$ を基本対称式という。
  • 対称式はすべて基本対称式のみで表すことができる。
ヒロ
ヒロ

2文字の対称式であれば,その2文字の和と積だけで表すことができることを覚えておこう。

ヒロ
ヒロ

実際に例を2つ挙げておくと次のようになる。

対称式の変形
  1. $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
  2. $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$

定期テストで実際に出題された対称式に関する問題

ヒロ
ヒロ

それでは実際に高校1年の1学期中間テストに実際に出題された対称式に関する問題を解いていこう。

対称式に関する問題1

対称式に関する問題1$x=\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$,$y=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ のとき,次の式の値を求めよ。
(1) $x+y$
(2) $xy$
(3) $x^2+y^2$
(4) $x^3+y^3$

これはまずは有理化ですね!

ヒロ
ヒロ

いやいや・・・何でもかんでも有理化するのは良くないね。

ヒロ
ヒロ

有理化するべきときと有理化しなくても良い場合があることを知ろう。

ヒロ
ヒロ

今回の問題では有理化する必要はないよ。

ヒロ
ヒロ

それは計算していくと分かるはず。

【(1)の解答】
\begin{align*}
x+y&=\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{5}}{5-3}=\dfrac{2\sqrt{5}}{2} \\[4pt]
&=\sqrt{5}
\end{align*}

通分することが有理化することになるから,最初に有理化する必要がないんですね!

ヒロ
ヒロ

そういうこと。

(2) $xy$

ヒロ
ヒロ

かけるだけだから簡単だね。

【(2)の解答】
\begin{align*}
&\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{5-3} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}
\end{align*}

(3) $x^2+y^2$

ヒロ
ヒロ

この式は対称式だから $x+y$ と $xy$ で表して,(1)と(2)で求めた値を代入しよう。

【(3)の解答】
\begin{align*}
x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^2-2\Cdota\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=5-1 \\[4pt]
&=4
\end{align*}

(4) $x^3+y^3$

ヒロ
ヒロ

(3)と同じように,$x+y$ と $xy$ で表そう。

【(4)の解答】
\begin{align*}
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^3-3\Cdota\dfrac{1}{2}\Cdota\sqrt{5} \\[4pt]
&=5\sqrt{5}-\dfrac{3}{2}\sqrt{5} \\[4pt]
&=\dfrac{7}{2}\sqrt{5}
\end{align*}

対称式に関する問題2

対称式に関する問題2$x=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$,$y=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ のとき,次の式の値を求めよ。
(1) $x+y$
(2) $x^3+y^3$
ヒロ
ヒロ

まずは和を求めよう。

これも通分することが有理化につながってるタイプですね。

【(1)の解答】
\begin{align*}
x+y&=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{3}}{3-2} \\[4pt]
&=2\sqrt{3}
\end{align*}

(2) $x^3+y^3$

ヒロ
ヒロ

この式は対称式だから $x+y$ と $xy$ だけで表せるね。

ヒロ
ヒロ

さっきみたいに $xy$ の値を求める問題がなくても,自分で $xy$ の値を求めて解決しよう。

【(2)の解答】
\begin{align*}
xy&=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{3-2} \\[4pt]
&=1
\end{align*}
よって
\begin{align*}
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt]
&=(2\sqrt{3})^3-3\Cdota1\Cdota2\sqrt{3} \\[4pt]
&=24\sqrt{3}-6\sqrt{3} \\[4pt]
&=18\sqrt{3}
\end{align*}

対称式に関する問題3

対称式に関する問題3$x=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$,$y=\sqrt{5}-2$ のとき,次の式の値を求めよ。
(1) $x+y,~xy$
(2) $x^2+y^2$
(3) $x^2y+xy^2$
ヒロ
ヒロ

$x+y$ を求めるときは $x$ を有理化してから計算した方が良いね。

ヒロ
ヒロ

ここで次の変形は当然だと思えるような意識を持ってほしい。

$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$
【追加説明】
\begin{align*}
&(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \\[4pt]
&=(n+1)-n \\[4pt]
&=1
\end{align*}
となるから,
\begin{align*}
\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}
\end{align*}
が成り立つ。
【(1)の解答】
\begin{align*}
x+y&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}+(\sqrt{5}-2) \\[4pt]
&=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2) \\[4pt]
&=2\sqrt{5}
\end{align*}

(2) $x^2+y^2$

ヒロ
ヒロ

(1)が解ければ,もう大丈夫だろう。

【(2)の解答】
\begin{align*}
xy&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}\times(\sqrt{5}-2)=1
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt]
&=(2\sqrt{5})^2-2\Cdota1 \\[4pt]
&=18
\end{align*}

(3) $x^2y+xy^2$

ヒロ
ヒロ

この式の $x$ と $y$ を入れ替えると $y^2x+yx^2$ となって元の式と変わらないから対称式だね。

ヒロ
ヒロ

ということで $x+y$ と $xy$ だけで表せるはず。

【(3)の解答】
\begin{align*}
x^2y+xy^2&=xy(x+y) \\[4pt]
&=1\times2\sqrt{5} \\[4pt]
&=2\sqrt{5}
\end{align*}

対称式に関する問題4

対称式に関する問題4$x=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}$,$y=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ のとき,次の式の値を求めよ。
(1) $x+y,~xy$
(2) $x^2+y^2$
(3) $x^3+y^3$
ヒロ
ヒロ

$xy=1$ になることはすぐに分かるはずで,そこから $x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ と分かるね。

【(1)の解答】
\begin{align*}
x+y&=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}+\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \\[4pt]
&=\sqrt{5} \\[4pt]
xy&=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}\times\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \\[4pt]
&=1
\end{align*}

(2) $x^2+y^2$

ヒロ
ヒロ

サクサク解いていこう。

【(2)の解答】
\begin{align*}
x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^2-2\Cdota1 \\[4pt]
&=3
\end{align*}

(3) $x^3+y^3$

【(3)の解答】
\begin{align*}
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^3-3\Cdota1\Cdota\sqrt{5} \\[4pt]
&=5\sqrt{5}-3\sqrt{5} \\[4pt]
&=2\sqrt{5}
\end{align*}

対称式に関する問題5

対称式に関する問題5$x=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$,$y=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ のとき,次の式の値を求めよ。
(1) $x+y,~xy$
(2) $x^2+y^2$
(3) $x^3+y^3$
(4) $x^5+y^5$
ヒロ
ヒロ

面倒だなぁって思うだろうけど頑張ろう。

【(1)の解答】
\begin{align*}
x+y&=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt]&=\dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} \\[4pt]&=\dfrac{2(5+3)}{2} \\[4pt]&=8 \\[4pt]xy&=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt]&=1
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

和と差の2乗の和の公式を使っている。

和と差の2乗の和
\begin{align*}
(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)
\end{align*}

(2) $x^2+y^2$

ヒロ
ヒロ

$x+y$ と $xy$ を求めた後は今までと同じだね。

【(2)の解答】
\begin{align*}
x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt]&=8^2-2\Cdota1 \\[4pt]&=62
\end{align*}

(3) $x^3+y^3$

ヒロ
ヒロ

この式変形も慣れてきただろう。

【(3)の解答】
\begin{align*}
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt]&=8^3-3\Cdota1\Cdota8 \\[4pt]&=8\times(64-3) \\[4pt]&=8\times61 \\[4pt]&=488
\end{align*}

(4) $x^5+y^5$

ヒロ
ヒロ

最後は5乗の和だけど,ここまで解けたら分かるかも?

ヒロ
ヒロ

すでに2乗の和と3乗の和の値が分かっているから,再利用できるように変形していこう。

【(4)の解答】
\begin{align*}
x^5+y^5&=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2y^2(x+y) \\[4pt]&=62\times488-1^2\times8 \\[4pt]&=30248
\end{align*}
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