2019年センター試験数学ⅡB 第1問指数関数・対数関数

2019年センター試験数学ⅡB 第1問指数関数・対数関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2019年センターⅡB 指数・対数関数連立方程式

\begin{align*}
\begin{cases}
\log_2(x+2)-2\log_4(y+3)=-1 &\cdots\cdots② \\[4pt]
\left(\dfrac{1}{3}\right)^y-11\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+1}+6=0 &\cdots\cdots③
\end{cases}
\end{align*}

を満たす実数 $x,~y$ を求めよう。
　真数の条件により，$x,~y$ のとり得る値の範囲は $\myBox{タ}$ である。$\myBox{タ}$ に当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。ただし，対数 $\log_ab$ に対し，$a$ を底といい，$b$ を真数という。
⓪ $x<0,~y>0$　① $x>2,~y>3$　② $x>-2,~y>-3$
③ $x<0,~y<0$　④ $x<2,~y<3$　⑤ $x<-2,~y<-3$
　底の変換公式により

\begin{align*}
\log_4(y+3)=\dfrac{\log_2(y+3)}{\myBox{チ}}
\end{align*}

である。よって，②から

\begin{align*}
y=\myBox{ツ}~x+\myBox{テ} \cdots\cdots④
\end{align*}

が得られる。
　次に，$t=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ とおき，④を用いて③を $t$ の方程式に書き直すと

\begin{align*}
t^2-\myBox{トナ}~t+\myBox{ニヌ}=0 \cdots\cdots⑤
\end{align*}

が得られる。また，$x$ が $\mybox{タ}$ における $x$ の範囲を動くとき，$t$ のとり得る値の範囲は

\begin{align*}
\myBox{ネ}<t<\myBox{ノ} \cdots\cdots⑥
\end{align*}

である。
　⑥の範囲で方程式⑤を解くと，$t=\myBox{ハ}$ となる。したがって，連立方程式②, ③を満たす実数 $x,~y$ の値は

\begin{align*}
x=\log_3\dfrac{\myBox{ヒ}}{\myBox{フ}},~y=\log_3\dfrac{\myBox{ヘ}}{\myBox{ホ}}
\end{align*}

であることがわかる。

Contents

1 考え方と解答
2 2019年センター数学ⅡB 指数関数・対数関数を解いた感想

考え方と解答

ヒロ

真数の条件とは「真数は正である」ことを知っておこう。

【タの解答】
②の真数は正であるから

\begin{align*}
&x+2>0,~y+3>0 \\[4pt]
&x>-2,~y>-3
\end{align*}

よって，$\myBox{タ}=②$

ヒロ

次は底を変える問題。底の変換公式を思い出そう。

【チの解答】

\begin{align*}
\log_4(y+3)&=\dfrac{\log_2(y+3)}{\log_24} \\[4pt]
&=\dfrac{\log_2(y+3)}{2}
\end{align*}

ヒロ

これを利用して，$y$ を $x$ で表そう。

【ツテの解答】
②より

\begin{align*}
&\log_2(x+2)+1=2\log_4(y+3) \\[4pt]
&\log_22(x+2)=\log_2(y+3) \\[4pt]
&2(x+2)=y+3 \\[4pt]
&y=2x+1
\end{align*}

ヒロ

対数の変形では，係数が正になるように移項するのがオススメ。

ヒロ

次は③を $t$ の方程式に書き直す問題。指数法則を利用しよう。

【ト～ヌの解答】
$y=2x+1$ であり，③より

\begin{align*}
&\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x+1}-11\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x+1}+6=0 \\[4pt]
&\dfrac{1}{3}\left\{\left(\dfrac{1}{3}\right)^x\right\}^2-\dfrac{11}{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^x+6=0 \\[4pt]
&\dfrac{1}{3}t^2-\dfrac{11}{3}t+6=0 \\[4pt]
&t^2-11t+18=0
\end{align*}