2017年センター試験 数学ⅠA 第2問 三角比

2017年センター試験数学ⅠA 第2問三角比の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2017年センターⅠA 第2問三角比$\sankaku{ABC}$ において，$\mathrm{AB}=\sqrt{3}-1$, $\mathrm{BC}=\sqrt{3}+1$, $\kaku{ABC}=60\Deg$ とする。
(1) $\mathrm{AC}=\sqrt{\myBox{ア}}$ であるから $\sankaku{ABC}$ の外接円の半径は $\sqrt{\myBox{イ}}$ であり

\begin{align*}
\sin\kaku{BAC}=\dfrac{\sqrt{\myBox{ウ}}+\sqrt{\myBox{エ}}}{\myBox{オ}}
\end{align*}

である。ただし，$\mybox{ウ}$, $\mybox{エ}$ の解答の願序は問わない。
(2) 辺AC上に点Dを $\sankaku{ABD}$ の面積が $\dfrac{\sqrt{2}}{6}$ になるようにとるとき

\begin{align*}
\mathrm{AB}\Cdot\mathrm{AD}=\dfrac{\myBox{カ}\sqrt{\myBox{キ}}-\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}
\end{align*}

であるから，$\mathrm{AD}=\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}$ である。

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 2017年センター数学ⅠA 三角比を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

まずはACの長さを求めよう。

【アの解答】
余弦定理より

\begin{align*}
\mathrm{AC}^2&=(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{3}+1)^2-2(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)\Cdota\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=8-2=6
\end{align*}

$\mathrm{AC}>0$ より，$\mathrm{AC}=\sqrt{6}$

ヒロ

計算するときに，和の2乗と差の2乗の和を公式として利用している。

和の2乗と差の2乗の和$(a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2)$
【例】

\begin{align*}
(\sqrt{3}-1)^2+(\sqrt{3}+1)^2&=2\left\{(\sqrt{3})^2+1^2\right\} \\[4pt]
&=2(3+1)=8
\end{align*}

ヒロ

次は外接円の半径を求める問題。「外接円の半径」ときたら，正弦定理を利用するのが基本。

【イの解答】

$\sankaku{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とすると，正弦定理より

\begin{align*}
R&=\dfrac{\mathrm{AC}}{2\sin B} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{6}}{2\Cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}} \\[4pt]
&=\sqrt{2}
\end{align*}

【正弦定理を利用して外接円の半径を求めるときのポイント】
正弦定理を利用して，外接円の半径を求めるときに，公式通り $2R=\cdots$ とする人が多いが，一般的には $R=\cdots$ とした方が良い。三角定規に現れる有名角の正弦の値は

\begin{align*}
&\sin30\Deg=\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&\sin45\Deg=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[4pt]
&\sin60\Deg=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
\end{align*}

となっている。分母が2であるため，正弦定理を $R=\cdots$ の形で利用することで，繁分数を避けることができる。

ヒロ

次は $\sin$ の値を求める問題。

ヒロ

1つの角とその対辺の長さが分かっているから，正弦定理で求めよう。

【ウ～オの解答】
正弦定理より

\begin{align*}
\sin\kaku{BAC}&=\dfrac{\mathrm{BC}}{2R} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{align*}

(2)の解答

ヒロ

次は三角形の面積が分かっている状態から2辺の長さの積を求める問題。

【カ～ケの解答】
$\sin A$ で割ることを考えると，どうせ有理化しないといけないから，
$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ を使おう。
$\sankaku{ABD}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}$ より

\begin{align*}
&\dfrac{1}{2}\mathrm{AB}\Cdota\mathrm{AD}\sin A=\dfrac{\sqrt{2}}{6} \\[4pt]
&\dfrac{1}{2}\mathrm{AB}\Cdota\mathrm{AD}\Cdota\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6}
\end{align*}

よって

\begin{align*}
\mathrm{AB}\Cdota\mathrm{AD}&=\dfrac{4}{3(\sqrt{3}+1)} \\[4pt]
&=\dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{3} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{3}-2}{3}
\end{align*}