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2017年 センター試験 数学ⅠA 第4問 整数

2017年 センター数学ⅠA 整数数学IAIIB
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2017年センター試験 数学ⅠA 第4問 整数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2017年 センターⅠA 第4問 整数(1) 百の位の数が3,十の位の数が7,一の位の数が $a$ である3桁の自然数を $37a$ と表記する。
 $37a$ が4で割り切れるのは
\begin{align*}
a=\myBox{ア},~\myBox{イ}
\end{align*}
のときである。ただし,$\mybox{ア},~\mybox{イ}$ の解答の順序は問わない。
(2) 千の位の数が7,百の位の数が $b$ ,十の位の数が5,一の位の数が $c$ である4桁の自然数を$7b5c$ と表記する。
 $7b5c$ が4でも9でも割り切れる $b,~c$ の組は,全部で $\myBox{ウ}$ 個ある。これらのうち,$7b5c$ の値が最小になるのは $b=\myBox{エ}$, $c=\myBox{オ}$ のときで,$7b5c$ の値が最大になるのは $b=\myBox{カ}$, $c=\myBox{キ}$ のときである。
 また,$7b5c=(6\times n)^2$ となる $b,~c$ と自然数 $n$ は
\begin{align*}
b=\myBox{ク},~c=\myBox{ケ},~n=\myBox{コサ}
\end{align*}
である。
(3) 1188の正の約数は全部で $\myBox{シス}$ 個ある。これらのうち,2の倍数は $\myBox{セソ}$ 個,4の倍数は $\myBox{タ}$ 個ある。
 1188のすべての正の約数の積を2進法で表すと,末尾には0が連続して $\myBox{チツ}$ 個並ぶ。
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(1)の解答

ヒロ
ヒロ

4の倍数の判定法を覚えておこう。

4の倍数の判定法自然数 $n$ の下2桁が4の倍数のとき,$n$ は4の倍数である。
ヒロ
ヒロ

これは $100=25\times4$ を考えると,100が4の倍数だと分かる(水泳経験者なら常識であるが)から,下2桁が4の倍数であれば,その数が4の倍数ということになるね。

【アイの解答】
$37a$ が4で割り切れるのは,$7a$ が4で割り切れるときだから,
\begin{align*}
a=2,~6
\end{align*}
のときである。
ヒロ
ヒロ

ちなみに72が4の倍数だと分かった時点で,一の位に4を加えて,76も4の倍数であることが分かる。

72が4の倍数であることは,$72=24\times3$ を思い浮かべれば簡単に分かるはず。つまり,1日が24時間(24は4の倍数)で,その3倍の3日が72時間ということ。
72という数字を見て「72時間」という映画のタイトルを思い出すなど,72が馴染みのある数字になっている人にとっては4の倍数であることは常識になっているだろう。

(2)の解答

(2) 千の位の数が7,百の位の数が $b$ ,十の位の数が5,一の位の数が $c$ である4桁の自然数を$7b5c$ と表記する。
 $7b5c$ が4でも9でも割り切れる $b,~c$ の組は,全部で $\myBox{ウ}$ 個ある。これらのうち,$7b5c$ の値が最小になるのは $b=\myBox{エ}$, $c=\myBox{オ}$ のときで,$7b5c$ の値が最大になるのは $b=\myBox{カ}$, $c=\myBox{キ}$ のときである。
 また,$7b5c=(6\times n)^2$ となる $b,~c$ と自然数 $n$ は

\begin{align*}
b=\myBox{ク},~c=\myBox{ケ},~n=\myBox{コサ}
\end{align*}
である。

ヒロ
ヒロ

次は9の倍数の判定問題。

9の倍数の判定法自然数 $n$ の各位の数の和が9の倍数のとき,$n$ は9の倍数である。
【ウの解答】
まず $7b5c$ が4で割り切れるのは,$5c$ が4で割り切れるときだから
\begin{align*}
c=2,~6
\end{align*}
$c=2$ のとき,各位の数の和は
\begin{align*}
7+b+5+c=b+14
\end{align*}
となり,これが9の倍数となるのは $b=4$ のみである。
また,$c=6$ のとき,各位の数の和は
\begin{align*}
7+b+5+c=b+18
\end{align*}
となり,これが9の倍数となるのは $b=0,~9$ である。
よって,求める $b,~c$ の組は3個ある。$\myBox{ウ}=3$
ヒロ
ヒロ

いま求めた3組のうち,$7b5c$ が最小になるものと最大になるものを求めよう。

【エ~キの解答】
最小になるものは $b$ が最小になるものを考えて $b=0,~c=6$ のとき。
最大になるものは $b$ が最大になるものを考えて $b=9,~c=6$ のときである。
ヒロ
ヒロ

次は $7b5c$ が平方数になる $b,~c$ の値を考えよう。

【ク~サの解答】
$7b5c=(6\times n)^2$ となるとき,$7b5c=4\times9\times n^2$ となるから,$7b5c$ は4でも9でも割り切れる。よって,$b,~c$ の組は
\begin{align*}
(b,~c)=(0,~6),~(4,~2),~(9,~6)
\end{align*}
の3組ある。このうち,平方数で一の位が2になるものは存在しないから,求める組み合わせは
\begin{align*}
(b,~c)=(0,~6),~(9,~6)
\end{align*}
のどちらかに限られる。7056を36で割ると
\begin{align*}
7056&=36\times196 \\[4pt]
&=(6\times14)^2
\end{align*}
となり,条件を満たすから,$b=0,~c=6,~n=14$ である。
ヒロ
ヒロ

センター試験でなければ,もう一方もチェックする必要がある。$7956=36\times221$ となり,7956は平方数にならない。

ヒロ
ヒロ

ちなみに7056から調べたのは,順番に調べているだけで,特に意味はない。最初に調べたものが条件を満たしたのは偶然である。どちらから調べようか悩むことは時間の無駄なので,速く解くためにも,とにかく手を動かそう。

(3)の解答

(3) 1188の正の約数は全部で $\myBox{シス}$ 個ある。これらのうち,2の倍数は $\myBox{セソ}$ 個,4の倍数は $\myBox{タ}$ 個ある。
 1188のすべての正の約数の積を2進法で表すと,末尾には0が連続して $\myBox{チツ}$ 個並ぶ。

ヒロ
ヒロ

約数の個数を求める問題。素因数分解して素早く処理していこう。

【シスの解答】
\begin{align*}
1188&=4\times297 \\[4pt]
&=4\times11\times27 \\[4pt]
&=2^2\times3^3\times11
\end{align*}
よって,求める約数の個数は
\begin{align*}
3\times4\times2=24~個
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

素因数分解するときに,中学生のときに習った「小さい素数で順番に割っていく方法」はオススメではない。

ヒロ
ヒロ

高校生なら,見た瞬間に気付く約数でどんどん割っていこう。

ヒロ
ヒロ

今回の場合は,下3桁が8の倍数ではなく,下2桁が4の倍数だから,最初に4で割った。

ヒロ
ヒロ

次に297を見て,$11\times27$ と分かる。最後に $4=2^2$, $27=3-3$ として素因数分解終了という感じ。

ヒロ
ヒロ

また,1188を見て最初に11の倍数であることも分かるため,$1188=11\times108$ とするのもアリ。

ヒロ
ヒロ

$\div2$, $\div2$ と1つずつ割っていくのだけは辞めよう。

ヒロ
ヒロ

297が11の倍数だと一瞬で分かるのは,2桁の数と11の掛け算を速くする方法を知ってるから。

2桁の数と11の積2桁の数の十の位を $a$,一の位を $b$ として,$ab$ と表記することにする。
$a+b<9$ のとき,$a+b=c$ とすると
\begin{align*}
ab\times11=acb
\end{align*}
となる。また,$a+b\geqq10$ のとき,$a+1=a’$, $a+b$ の一の位を $c$ とすると
\begin{align*}
ab\times11=a’cb
\end{align*}
となる。
【具体例】
\begin{align*}
27\times11=297,~37\times11=407
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

今回は297を見て,$2+7=9$ が思い浮かんだから,即座に11の倍数と判別できた。

ヒロ
ヒロ

ちなみに,自然数 $n$ の下3桁が8の倍数なら,$n$ は8の倍数であることも知っておこう。

ヒロ
ヒロ

次は2の倍数の個数を求める問題。

【セソの解答】
$1188=2^2\times3^3\times11$ の約数のうち,2の倍数であるものは素因数2を少なくとも1つ含む。よって, 素因数2の取り方が2通り,素因数3の取り方が4通り,素因数11の取り方が2通りあるから,全部で
\begin{align*}
2\times4\times2=16~個
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

同じようにして4の倍数の個数を求めよう。

【タの解答】
$1188=2^2\times3^3\times11$ の約数のうち,4の倍数であるものは素因数2を少なくとも2つ含む。よって, 素因数2の取り方が1通り,素因数3の取り方が4通り,素因数11の取り方が2通りあるから,全部で
\begin{align*}
1\times4\times2=8~個
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後は1188のすべての正の約数の積を2進法で表したときの末尾の0の個数を求める問題。 まず,末尾の0の個数の求め方について理解しておこう。

【10進法で表された数の末尾の0の個数について】
10進法で表された自然数 $n$ の末尾に続く0の個数が2だと言われた場合,$n=100$ や $n=200$ など色々あるが,すべて
\begin{align*}
n=N\times10^2
\end{align*}
と表せる。ただし,$N$ を素因数分解したとき,2と5が両方同時に現れることはない。 一般化すると,10進法で表された自然数 $n$ の末尾に続く0の個数が $m$ のとき
\begin{align*}
n=N\times10^m
\end{align*}
と表せる。ただし,$N$ を素因数分解したとき,2と5が両方同時に現れることはない。
ヒロ
ヒロ

このことが理解できれば2進法になっても同じだね。

【2進法で表された数の末尾の0の個数について】
2進法で表された自然数の末尾に続く0の個数が $m$ のとき, その自然数を10進法で表した数を $n$ とすると
\begin{align*}
n=N\times2^m
\end{align*}
と表せる。ただし,$N$ を素因数分解したとき,2が現れることはない。 つまり,$N$ は奇数の素数の積である。
ヒロ
ヒロ
次の記事では,もう少し丁寧に説明しているので,参考にして欲しい。
ヒロ
ヒロ

このことを考えて最後の問題を解こう。

【チツの解答】
1188の正の約数の中で,2の倍数が16個,4の倍数が8個り,8の倍数はないから, 1188の正の約数の積を素因数分解すると
\begin{align*}
2^{16+8}\times(奇数の素数の積)=2^{24}\times(奇数の素数の積)
\end{align*}
となる。したがって,この数を2進法で表すと,末尾には0が連続して24個並ぶ。$\myBox{チツ}=24$

2017年 センター数学ⅠA 整数を解いた感想

ヒロ
ヒロ

速く解くためには,自然数がどの数の倍数であるかの判定を素早く行えることが重要である。

ヒロ
ヒロ

また,2進法で表した数の末尾に続く0の個数を求める問題に「こんなの知らない」となった人が多いかもしれない。

ヒロ
ヒロ

10進法で表した数の末尾に続く0の個数について,しっかりと理解していれば対応できるはず。

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