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２文字のカタマリを１文字で表す方法をマスターしよう
(2)を１文字消去で考えると，どれを消去するにしても面倒だなぁって思うよね？
そんな言い方をするってことは何か良い方法があるんですね！
(2) の式には，$a+b,\ b+c,\ c+a$ という２文字の和の形になってるね？今，与えられているのは，$a+b+c=0$ っていう式。ここから $a+b=-c$と変形できるよね？
それを代入してもあんまり楽になる気はしないんですけど・・・
確かに $a+b=-c$ の１つだけでは楽にはならないね。でも，$b+c=-a$, $c+a=-b$ とするとどうかな？
なるほど！３つの式を利用することで楽になるんですね。
a+b=-c,\ b+c=-a,\ c+a=-b
\end{align*}
(左辺)&=(-c)\cdot(-a)\cdot(-b)+abc \\[4pt]
&=-abc+abc \\[4pt]
&=0 \\[4pt]
&=(右辺)
\end{align*}
(a+b)(b+c)(c+a)+abc=0
\end{align*}
完璧だね！２つの文字のカタマリを１つの文字で表すこともあることを覚えておこう！
３つの文字の３乗の和を見たときに使う公式を知っておこう
じゃあラストの(3)をやっていこう。
(2)の説明を聞いた後なら，最初にどうするかは分かりますよ！
a+b=-c,\ b+c=-a,\ c+a=-b
\end{align*}
(左辺)&=a^2\cdot(-a)+b^2\cdot(-b)+c^2\cdot(-c)+3abc \\[4pt]
&=-a^3-b^3-c^3+3abc
\end{align*}
ここまでは良いですよね？
そうだね！問題はここからだ。
３つの文字の３乗の和が来たときは，次の因数分解公式を使うことを意識しよう！
そのまま使えますね！
a+b=-c,\ b+c=-a,\ c+a=-b
\end{align*}
(左辺)&=a^2\cdot(-a)+b^2\cdot(-b)+c^2\cdot(-c)+3abc \\[4pt]
&=-a^3-b^3-c^3+3abc \\[4pt]
&=-(a^3+b^3+c^3-3abc) \\[4pt]
&=-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \\[4pt]
&=0\quad (\because a+b+c=0)
\end{align*}
完璧だ！
まとめ
等式 $A=B$ を証明する際に，主に３つの方法があるのを押さえておこう！
- $A$ か $B$ の一方を変形して，他方を導く。
- $A,\ B$ をそれぞれ変形して，同じ式を導く。
- $A-B=0$ であることを示す。
一般的に，左辺か右辺のどちらか一方のみを変形する場合は，最初の方法を選択しよう。
そりゃそうでしょ・・・
両辺を変形する場合は，２番目の方法を選択するが，多くの場合は条件が付いているため，結局は３番目の方法を選択することになる。
なんで条件が付くと，２番目の方法ではなく３番目の $A-B=0$ を示す方法を選ぶんですか？
条件が付いた等式の証明では，与えられた条件があるからこそ，等式が成り立つんだよね？
そりゃそうです・・・
逆に言えば，その条件がなければ等式は成り立たないことになる。
なに当たり前のことを言ってるんですか！？何を言いたいのかさっぱり分かりません！
まぁ落ち着け・・・つまり，こういうことだ。
当然，すべての問題で必ずそうなるという訳ではない。例えば(1)でこのことを意識すると次のような解答になる。
&(左辺)-(右辺)=(a^2-2bc)-(b^2+c^2) \\
&=a^2-(b^2+2bc+c^2) \\
&=a^2-(b+c)^2 \\
&=(a+b+c)\{a-(b+c)\} \\
&=0\quad (\because a+b+c=0)
\end{align*}
なるほど！０になるにはそれなりの理由があるってことですね！
等式の証明問題では，その理由が与えられた条件になると・・・そういうことですか？
そういうこと！ただ，$C=0$ を利用しようとして，$A-B=C\times\boxed{~\hspace{4mm}\phantom{\rule[-1pt]{0cm}{7pt}}~~}$ と変形することが逆に面倒なこともある。問題に応じて柔軟に考えるようにしよう！
少しパワーアップした気がします！
この調子で頑張っていこう！
