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3倍角の公式の導出
ヒロ
3倍角の公式の導出は，次の記事で扱っているので参考にして欲しい。
2017年 東京都市大
2017年 東京都市大$\cos2x=\cos3x$ であるとき，$\cos x=\myhako,~\dfrac{\myhako\pm\sqrt{\myhako}}{4}$ である。
【考え方と解答】
「○○を求めよ。」と言われた場合は「○○についての方程式を立てて解く」ことが1つの考え方である。今回の場合は $\cos x$ を求めるから $\cos x$ についての方程式を立てて解くことを考える。つまり2倍角の公式と3倍角の公式を利用して，与えられた方程式を $\cos x$ で表すことから始めよう。
$\cos2x=\cos3x$ より
「○○を求めよ。」と言われた場合は「○○についての方程式を立てて解く」ことが1つの考え方である。今回の場合は $\cos x$ を求めるから $\cos x$ についての方程式を立てて解くことを考える。つまり2倍角の公式と3倍角の公式を利用して，与えられた方程式を $\cos x$ で表すことから始めよう。
$\cos2x=\cos3x$ より
\begin{align*}
&2\cos^2x-1=4\cos^3x-3\cos x \\[4pt]
&4\cos^3x-2\cos^2x-3\cos x+1=0 \\[4pt]
&(\cos x-1)(4\cos^2x+2\cos x-1)=0 \\[4pt]
&\cos x=1,~\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}
\end{align*}
&2\cos^2x-1=4\cos^3x-3\cos x \\[4pt]
&4\cos^3x-2\cos^2x-3\cos x+1=0 \\[4pt]
&(\cos x-1)(4\cos^2x+2\cos x-1)=0 \\[4pt]
&\cos x=1,~\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{4}
\end{align*}
2019年 学習院大
2019年 学習院大等式
\begin{align*}
\sin3x-\dfrac{3}{2}\sin2x+\sin^2x+4\sin^3x=0
\end{align*}
を満たすすべての実数 $x$ について，$\sin x$ の値を求めよ。\sin3x-\dfrac{3}{2}\sin2x+\sin^2x+4\sin^3x=0
\end{align*}
【考え方と解答】
角を $x$ に統一しよう。与えられた方程式より
したがって，求める $\sin x$ の値は $0,~-\dfrac{3}{5}$
角を $x$ に統一しよう。与えられた方程式より
\begin{align*}
&(3\sin x-4\sin^3x)-\dfrac{3}{2}\Cdota2\sin x\cos x+\sin^2x+4\sin^3x=0 \\[4pt]
&3\sin x\cos x-\sin^2x-3\sin x=0 \\[4pt]
&\sin x(3\cos x-\sin x-3)=0 \\[4pt]
&\sin x=0~または~\cos x=\dfrac{1}{3}\sin x+1
\end{align*}
$\cos x=\dfrac{1}{3}\sin x+1$ のとき，$\cos^2x+\sin^2x=1$ より&(3\sin x-4\sin^3x)-\dfrac{3}{2}\Cdota2\sin x\cos x+\sin^2x+4\sin^3x=0 \\[4pt]
&3\sin x\cos x-\sin^2x-3\sin x=0 \\[4pt]
&\sin x(3\cos x-\sin x-3)=0 \\[4pt]
&\sin x=0~または~\cos x=\dfrac{1}{3}\sin x+1
\end{align*}
\begin{align*}
&\left(\dfrac{1}{3}\sin x+1\right)^2+\sin^2x=1 \\[4pt]
&\dfrac{1}{9}\sin^2x+\dfrac{2}{3}\sin x+\sin^2x=0 \\[4pt]
&5\sin^2x+3\sin x=0 \\[4pt]
&\sin x(5\sin x+3)=0 \\[4pt]
&\sin x=0,~-\dfrac{3}{5}
\end{align*}
このとき，$\cos x=1,~\dfrac{4}{5}$ であり，$-1\leqq\cos x\leqq1$ を満たす。&\left(\dfrac{1}{3}\sin x+1\right)^2+\sin^2x=1 \\[4pt]
&\dfrac{1}{9}\sin^2x+\dfrac{2}{3}\sin x+\sin^2x=0 \\[4pt]
&5\sin^2x+3\sin x=0 \\[4pt]
&\sin x(5\sin x+3)=0 \\[4pt]
&\sin x=0,~-\dfrac{3}{5}
\end{align*}
したがって，求める $\sin x$ の値は $0,~-\dfrac{3}{5}$
2019年 福岡大
2019年 福岡大$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\cos3\theta+2\cos\theta=0$ をみたす $\theta$ の値は $\myhako$ であり，同じ範囲で $\cos3\theta+2\cos\theta>0$ をみたす $\theta$ の値の範囲は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
$\cos3\theta+2\cos\theta=0$ より
$\cos3\theta+2\cos\theta=0$ より
\begin{align*}
&(4\cos^3\theta-3\cos\theta)+2\cos\theta=0 \\[4pt]
&4\cos^3\theta-\cos\theta=0 \\[4pt]
&\cos\theta(4\cos^2\theta-1)=0 \\[4pt]
&\cos\theta=0,~\pm\dfrac{1}{2}
\end{align*}
$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ より，&(4\cos^3\theta-3\cos\theta)+2\cos\theta=0 \\[4pt]
&4\cos^3\theta-\cos\theta=0 \\[4pt]
&\cos\theta(4\cos^2\theta-1)=0 \\[4pt]
&\cos\theta=0,~\pm\dfrac{1}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
\theta=\dfrac{\pi}{3},~\dfrac{\pi}{2}
\end{align*}
また，$\cos3\theta+2\cos\theta>0$ より\theta=\dfrac{\pi}{3},~\dfrac{\pi}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
&\cos\theta(4\cos^2\theta-1)>0
\end{align*}
$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ のとき，$\cos\theta\geqq0$ であるから&\cos\theta(4\cos^2\theta-1)>0
\end{align*}
\begin{align*}
&4\cos^2\theta-1>0 \\[4pt]
&\cos\theta>\dfrac{1}{2}
\end{align*}
よって，$0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{3}$&4\cos^2\theta-1>0 \\[4pt]
&\cos\theta>\dfrac{1}{2}
\end{align*}