【数学IA】三角比を含む等式の証明

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三角比を含む等式の証明問題

問題次の等式が成り立つことを示せ。

\begin{align*}
\dfrac{\sin\theta}{1-\sin\theta}-\dfrac{\sin\theta}{1+\sin\theta}=2\tan^2\theta
\end{align*}

【考え方と解答】
左辺が複雑な式で右辺が簡単な式だから，左辺を変形して右辺になることを証明しよう。

\begin{align*}
（左辺）&=\sin\theta\left(\dfrac{1}{1-\sin\theta}-\dfrac{1}{1+\sin\theta}\right) \\[4pt]
&=\sin\theta\Cdota\dfrac{(1+\sin\theta)-(1-\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sin^2\theta}{1-\sin^2\theta}=\dfrac{2\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \\[4pt]
&=2\tan^2\theta
\end{align*}

三角比を含む等式の証明問題2

問題$\sankaku{ABC}$ の3つの内角の大きさを $A,~B,~C$ とするとき，次の等式が成り立つことを証明せよ。
(1) $\sin A=\sin(B+C)$
(2) $\cos A=-\cos(B+C)$

【(1)の考え方と解答】
両辺を比較すると，右辺の方が複雑な式だから，右辺を変形して左辺と等しくなることを証明しよう。また，三角形の内角に関して，忘れてはいけない等式「$A+B+C=180\Deg$」を利用しよう。
$A+B+C=180\Deg$ であるから，

\begin{align*}
\sin(B+C)&=\sin(180\Deg-A) \\[4pt]
&=\sin A
\end{align*}

よって，$\sin A=\sin(B+C)$ が成り立つ。

(2) $\cos A=-\cos(B+C)$

【(2)の考え方と解答】
これも右辺を変形して左辺と等しくなることを証明しよう。
$A+B+C=180\Deg$ であるから，

\begin{align*}
\cos(B+C)&=\cos(180\Deg-A) \\[4pt]
&=\cos A
\end{align*}

よって，$\cos A=-\cos(B+C)$ が成り立つ。