【数学IA】三角比を含む等式の証明

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三角比を含む等式の証明問題3

問題$\sankaku{ABC}$ の3つの内角の大きさを $A,~B,~C$ とするとき，次の等式が成り立つことを証明せよ。

\begin{align*}
\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B+C}{2}=\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B+C}{2}
\end{align*}

【考え方と解答】
両辺のどちらか一方が簡単な式というわけではないが，片方を変形するともう一方の式になることもある。両方変形するつもりなら，左辺と右辺のどちらから変形しても同じなので「どちらを変形しようか・・・」などと悩むのではなく，どちらでも良いのでさっさと変形していこう。
今回は左辺を変形することを考える。
$A+B+C=180\Deg$ であるから

\begin{align*}
（左辺）&=\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{180\Deg-A}{2} \\[4pt]
&=\sin\dfrac{A}{2}\sin\left(90\Deg-\dfrac{A}{2}\right) \\[4pt]
&=\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}
\end{align*}

同じように右辺を $A$ だけで表そう。

\begin{align*}
（右辺）&=\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{180\Deg-A}{2} \\[4pt]
&=\cos\dfrac{A}{2}\cos\left(90\Deg-\dfrac{A}{2}\right) \\[4pt]
&=\cos\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{A}{2}
\end{align*}

両辺を変形して同じ式になったから，左辺と右辺が等しいことが証明されたね。解答としては「よって，与えられた等式は成り立つ。」と書いておけば良い。

三角比を含む等式の証明問題4

問題$\sankaku{ABC}$ の3つの内角を $A,~B,~C$ とするとき，次の等式が成り立つことを証明せよ。

\begin{align*}
\left(1+\tan^2\dfrac{A}{2}\right)\sin^2\dfrac{B+C}{2}=1
\end{align*}

【考え方と解答】
これは左辺を変形して1になることを示そう。
$1+\tan^2\dfrac{A}{2}=\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{A}{2}}$ であり，$A+B+C=180\Deg$ より

\begin{align*}
\dfrac{B+C}{2}&=\dfrac{180\Deg-A}{2} \\[4pt]
&=90\Deg-\dfrac{A}{2}
\end{align*}

であるから

\begin{align*}
（左辺）&=\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{A}{2}}\Cdota\sin^2\left(90\Deg-\dfrac{A}{2}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{\cos^2\dfrac{A}{2}}\Cdota\cos^2\dfrac{A}{2} \\[4pt]
&=1
\end{align*}