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2009年 駒澤大
2009年 駒澤大方程式 $2x^2-ax-\dfrac{\sqrt{2}}{4}a=0$（ただし $a$ は定数であって $a>0$）の2つの解が $\sin\theta$，$\cos\theta$ $(0\leqq\theta\leqq\pi)$ であるとき，$a=\sqrt{\myhako}$ であり，$x=\dfrac{\sqrt{\myhako}\pm\sqrt{\myhako}}{\myhako}$ である。
【考え方と解答】
解と係数の関係より
このとき，与えられた方程式は
解と係数の関係より
\begin{align*}
&\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2}a~\cdots\cdots① \\[4pt]
&\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{8}a~\cdots\cdots②
\end{align*}
①，②より&\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2}a~\cdots\cdots① \\[4pt]
&\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{\sqrt{2}}{8}a~\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
&(\sin\theta+\cos\theta)^2-2\sin\theta\cos\theta=1 \\[4pt]
&\left(\dfrac{1}{2}a\right)^2-2\Cdota\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{8}a\right)=1 \\[4pt]
&a^2+\sqrt{2}a-4=0 \\[4pt]
&(a+2\sqrt{2})(a-\sqrt{2})=0 \\[4pt]
&a=-2\sqrt{2},~\sqrt{2}
\end{align*}
$a>0$ より，$a=\sqrt{2}$&(\sin\theta+\cos\theta)^2-2\sin\theta\cos\theta=1 \\[4pt]
&\left(\dfrac{1}{2}a\right)^2-2\Cdota\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{8}a\right)=1 \\[4pt]
&a^2+\sqrt{2}a-4=0 \\[4pt]
&(a+2\sqrt{2})(a-\sqrt{2})=0 \\[4pt]
&a=-2\sqrt{2},~\sqrt{2}
\end{align*}
このとき，与えられた方程式は
\begin{align*}
2x^2-\sqrt{2}x-\dfrac{1}{2}=0
\end{align*}
となるから，解は2x^2-\sqrt{2}x-\dfrac{1}{2}=0
\end{align*}
\begin{align*}
x=\dfrac{\sqrt{2}\pm\sqrt{6}}{4}
\end{align*}
x=\dfrac{\sqrt{2}\pm\sqrt{6}}{4}
\end{align*}
ヒロ
最後の方程式を解くときに，両辺に2をかけて「$4x^2-2\sqrt{2}x-1=0$」とする必要がないことに気付くと良いだろう。
ヒロ
解の公式の根号の中身「$b^2-4ac$」の4が良い働きをしてくれる。
2016年 北里大
2016年 北里大$a$ と $\theta$ を実数とし，2次方程式 $x^2-\sqrt{7}ax+3a^3=0$ の2つの解を $\sin\theta,~\cos\theta$ とする。このとき，$a$ の値は $\myBox{ア}$ または $\myBox{イ}$ である。ただし，$\mybox{ア}<\mybox{イ}$ とする。さらに，$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{4}$ であれば，$\sin\theta=\myBox{ウ}$ である。
【考え方と解答】
解と係数の関係より
さらに $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{4}$ のとき，$0\leqq\sin\theta\leqq\cos\theta$ であるから，$a>0$ となる。よって，$a=\dfrac{1}{2}$
このとき，与えられた方程式から
解と係数の関係より
\begin{align*} &\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{7}a~\cdots\cdots① \\[4pt] &\sin\theta\cos\theta=3a^3~\cdots\cdots② \end{align*}
①，②より \begin{align*} &(\sin\theta+\cos\theta)^2-2\sin\theta\cos\theta=1 \\[4pt] &(\sqrt{7}a)^2-2\Cdota3a^3=1 \\[4pt] &6a^3-7a^2+1=0 \end{align*}
定数項の約数 $\pm1$ のうち，1を $a$ に代入すると，上の等式が成り立つから，解の1つが1であることが分かる。暗算で割り算を行って\begin{align*} &(a-1)(6a^2-a-1)=0 \\[4pt] &(a-1)(2a-1)(3a+1)=0 \\[4pt] &a=1,~\dfrac{1}{2},~-\dfrac{1}{3} \end{align*}
ここで，条件をみたす $a$ の値はどれかを考える必要がある。今回は空欄の形から3つのうち，2つだけが条件をみたすことが分かるが，記述式であっても考えるようにしよう。 $\abs{\sin\theta}\leqq1$，$\abs{\cos\theta}\leqq1$ であることを利用しよう。$\abs{\sin\theta}$ と $\abs{\cos\theta}$ は同時に1になることはないから，$\abs{\sin\theta\cos\theta}<1$ となる。これより $\abs{3a^3}<1$ となるから，これをみたす $a$ は $a=\dfrac{1}{2},~-\dfrac{1}{3}$さらに $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{4}$ のとき，$0\leqq\sin\theta\leqq\cos\theta$ であるから，$a>0$ となる。よって，$a=\dfrac{1}{2}$
このとき，与えられた方程式から
\begin{align*}
&x^2-\dfrac{\sqrt{7}}{2}x+\dfrac{3}{8}=0 \\[4pt]
&2x^2-\sqrt{7}x+\dfrac{3}{4}=0 \\[4pt]
&x=\dfrac{\sqrt{7}\pm1}{4}
\end{align*}
$\sin\theta\leqq\cos\theta$ より，$\sin\theta=\dfrac{\sqrt{7}-1}{4}$&x^2-\dfrac{\sqrt{7}}{2}x+\dfrac{3}{8}=0 \\[4pt]
&2x^2-\sqrt{7}x+\dfrac{3}{4}=0 \\[4pt]
&x=\dfrac{\sqrt{7}\pm1}{4}
\end{align*}