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陽性の人が本当に病気に罹っている確率

陽性の人が本当に罹患している確率数学IAIIB
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ここではある病気に対する検査で陽性と判定された人が,本当にその病気に罹っている確率について解説します。

検査の精度は100%ではないため,陽性と判定されても本当は病気に罹っていない(偽陽性という)こともあります。

逆に陰性と判定されても本当は病気に罹っている(偽陰性という)こともあります。

このようなことを理解するためには「条件付き確率」を理解することが重要です。

実際に出題された入試問題を用いて説明します。

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2019年 成城大

2019年 成城大ある病原菌の検査試薬は,病原菌に感染している個体に用いると $99\%$ の確率で陽性と判定し,感染していない個体に用いると $99\%$ の確率で陰性と判定する。ここで,全体の $0.5\%$ がこの病原菌に感染している集団から個体を1つ取り出し,この検査試薬を用いて感染しているかどうかを検査する。以下の問いに答えよ。
(1) この個体が実際に病原菌に感染していて,かつ陽性と判定される確率を求めよ。
(2) この個体が実際には病原菌に感染しておらず,かつ陽性と判定される確率を求めよ。
(3) この個体が陽性と判定されたときに,実際には病原菌に感染していない条件付き確率を求めよ。
(4) この個体が陰性と判定されたときに,実際には病原菌に感染している条件付き確率を求めよ。
【(1)の考え方と解答】
検査をして陽性と判定される事象を $A$,病原菌に感染している事象を $B$ とする。
実際に病原菌に感染していて,かつ陽性と判定される確率 $P(B\cap A)$ は
\begin{align*}
P(B\cap A)&=P(B)\Cdota P_B(A) \\[4pt]&=\dfrac{0.5}{100}\Cdota\dfrac{99}{100}=\dfrac{99}{20000}
\end{align*}

(2) この個体が実際には病原菌に感染しておらず,かつ陽性と判定される確率を求めよ。

【(2)の考え方と解答】
病原菌に感染しておらず,かつ陽性と判定される確率 $P(\overline{B}\cap A)$ は
\begin{align*}
P(\overline{B}\cap A)&=P(\overline{B})\Cdota P_{\overline{B}}(A) \\[4pt]&=\dfrac{99.5}{100}\Cdota\dfrac{1}{100}=\dfrac{199}{20000}
\end{align*}

(3) この個体が陽性と判定されたときに,実際には病原菌に感染していない条件付き確率を求めよ。

【(3)の考え方と解答】
陽性と判定されるのは,実際に病原菌に感染しているときと実際には病原菌に感染していないときがあるから,その確率 $P(A)$ は
\begin{align*}
P(A)&=P(A\cap B)+P(A\cap\overline{B}) \\[4pt]&=\dfrac{99}{20000}+\dfrac{199}{20000}=\dfrac{298}{20000}=\dfrac{149}{10000}
\end{align*}
陽性と判定されたときに,実際には病原菌に感染していない条件付き確率は $P_A(\overline{B})$ であり,次の表で $\dfrac{②}{①+②}$ で求められる。
陽性の人が本当に罹患している確率
\begin{align*}
P_A(\overline{B})&=\dfrac{P(A\cap\overline{B})}{P(A)} \\[4pt]&=\dfrac{\dfrac{199}{20000}}{\dfrac{298}{20000}}=\dfrac{199}{298}
\end{align*}

(4) この個体が陰性と判定されたときに,実際には病原菌に感染している条件付き確率を求めよ。

【(4)の考え方と解答】
陰性と判定される確率 $P(\overline{A})$ は(3)より
\begin{align*}
P(\overline{A})&=1-P(A) \\[4pt]&=1-\dfrac{149}{10000}=\dfrac{9851}{10000}
\end{align*}
また,病原菌に感染しているのに陰性と判定される確率 $P(\overline{A}\cap B)$ は
\begin{align*}
P(\overline{A}\cap B)&=P(B)\Cdota P_B(\overline{A}) \\[4pt]&=\dfrac{0.5}{100}\Cdota\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{20000}
\end{align*}
陰性と判定されたときに,実際には病原菌に感染している条件付き確率は $P_{\overline{A}}(B)$ であり,上の表で $\dfrac{③}{③+④}$ で求められるから,
\begin{align*}
P_{\overline{A}}(B)&=\dfrac{P(\overline{A}\cap B)}{P(\overline{A})} \\[4pt]&=\dfrac{\dfrac{1}{20000}}{\dfrac{9851}{10000}}=\dfrac{1}{19702}
\end{align*}

2018年 昭和薬科大

2018年 昭和薬科大ある病気に罹っている人は人口の $10\%$ であり,この病気を発見する検査では,病気に罹っていない人を陰性と正しく判定する確率が $80\%$ であり,病気に罹っている人を陽性と正しく判定する確率が $80\%$ であるという。病気に罹っていることを $B$,検査結果が陽性であることを $T$ と表すとき,次の問に答えよ。なお,(1)と(2)の解答は分数表記または小数表記のいずれでも良いが,(3)は分数表記とする。
(1) 病気に罹っていて,なおかつ検査結果が陽性である確率 $P(B\cap T)$ を求めよ。
(2) この検査で陽性と判定される確率 $P(T)$ を求めよ。
(3) 陽性と判定された人が本当に病気に罹っている確率 $P_T(B)$ を求めよ。また,陰性と判定された人が本当に病気に罹っていない確率 $P_{\overline{T}}(\overline{B})$ を求めよ。
【(1)の考え方と解答】
人口の $10\%$ が病気に罹っているから,その確率は $P(B)=\dfrac{1}{10}$ である。病気に罹っている人を陽性と正しく判定する確率が $80\%$ であるから,$P_B(T)=\dfrac{80}{100}=\dfrac{4}{5}$ である。
したがって,求める確率は
\begin{align*}
P(B\cap T)&=P(B)\Cdota P_B(T) \\[4pt]&=\dfrac{1}{10}\Cdota\dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{25}
\end{align*}

(2) この検査で陽性と判定される確率 $P(T)$ を求めよ。

【(2)の考え方と解答】
この検査で陽性と判定されるのは次の2つの場合がある。
 (i) 病気に罹っていて陽性と判定される
 (ii) 病気に罹っておらず陽性と判定される
(i)のときの確率は $P(B\cap T)$ であり,(1)より $P(B\cap T)=\dfrac{2}{25}$
(ii)のときの確率は
\begin{align*}
P(\overline{B}\cap T)&=P(\overline{B})\Cdota P_{\overline{B}}(T) \\[4pt]&=\dfrac{9}{10}\Cdota\dfrac{2}{10}=\dfrac{9}{50}
\end{align*}
したがって,求める陽性となる確率は
\begin{align*}
P(T)&=P(B\cap T)+P(\overline{B}\cap T) \\[4pt]&=\dfrac{2}{25}+\dfrac{9}{50} \\[4pt]&=\dfrac{13}{50}
\end{align*}

(3) 陽性と判定された人が本当に病気に罹っている確率 $P_T(B)$ を求めよ。また,陰性と判定された人が本当に病気に罹っていない確率 $P_{\overline{T}}(\overline{B})$ を求めよ。

【(3)の考え方と解答】
$P_T(B)$ は次の表において,$\dfrac{①}{①+②}$ である。
陽性の人が本当に罹患している確率
(1), (2)の結果より,陽性と判定された人が本当に病気に罹っている確率は
\begin{align*}
P_T(B)&=\dfrac{P(B\cap T)}{P(T)} \\[4pt]&=\dfrac{\dfrac{2}{25}}{\dfrac{13}{50}}=\dfrac{4}{13}
\end{align*}
また,$P_{\overline{T}}(\overline{B})$ は上の表において $\dfrac{④}{③+④}$ である。
与えられた条件より
\begin{align*}
P(\overline{B}\cap\overline{T})&=P(\overline{B})\Cdota P_{\overline{B}}(\overline{T}) \\[4pt]&=\dfrac{9}{10}\Cdota\dfrac{8}{10}=\dfrac{36}{50}
\end{align*}
また,(2)より
\begin{align*}
P(\overline{T})&=1-P(T) \\[4pt]&=1-\dfrac{13}{50}=\dfrac{37}{50}
\end{align*}
したがって,陰性と判定された人が本当に病気に罹っていない確率は
\begin{align*}
P_{\overline{T}}(\overline{B})&=\dfrac{P(\overline{B}\cap\overline{T})}{P(\overline{T})} \\[4pt]&=\dfrac{\dfrac{36}{50}}{\dfrac{37}{50}}=\dfrac{36}{37}
\end{align*}

陽性と判定されたときに実際に感染者であるかどうか

ヒロ
ヒロ

2019年の成城大の問題では,陽性の人を陽性と判定し,陰性の人を陰性と判定する確率がともに $99\%$ と非常に高い検査をしている。

ヒロ
ヒロ

非常に精度の高い検査であっても,感染者の割合が少ない対象に検査をすると,陽性と判定されても実際には感染者ではない確率が約 $\dfrac{2}{3}$ になってしまう。

ヒロ
ヒロ

「検査結果は陽性でした。でも約 $\dfrac{2}{3}$ の確率で感染者ではありません。」と言われたらどう感じるだろうか?

ヒロ
ヒロ

ついでに「感染者ではないかもしれませんが,陽性なので隔離しますね。」と言われる。

ヒロ
ヒロ

感染者ではない人がどんどん隔離されることは容易に想像できるだろう。

ヒロ
ヒロ

これにより病床が足りなくなり,医療崩壊につながる。

ヒロ
ヒロ

したがって,検査をするときにはある程度,その対象を絞って感染している人の割合を高くする必要がある。

ヒロ
ヒロ

「条件付き確率」を理解することで,検査対象を絞る必要があることも簡単に理解できる。

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