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【数学ⅡB】円によって切り取られる線分の長さ【東京電機大・東洋大】

円によって切り取られる線分の長さ数学IAIIB
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弦の長さを求める方法

ヒロ
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弦の長さを求める方法を知ろう。

三平方の定理を利用する

ヒロ
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弦の長さを求める問題は高校入試でも出題されるが,そのときに用いた解法が「三平方の定理を利用する方法」である。

次の図のように,円 $C$ と直線 $l$ が2点P,Qで交わっているとする。
円Cと直線lが2点P,Qで交わっている
 直線 $l$ が円 $C$ から切り取られる線分(弦PQ)の長さを求めるために。円の中心Cから直線 $l$ に垂線CHを下ろす。$\sankaku{CPQ}$ は $\text{CP}=\text{CQ}$ の二等辺三角形であるから,点Hは線分PQの中点である。
弦PQの長さを求めるための補助線
$\sankaku{CPH}$ において,CPの長さは円 $C$ の半径 $r$ である。また,CHの長さは点Cと直線 $l$ の距離 $d$ である。
直角三角形CPHに着目してPHを求めてPQを求める
 三平方の定理より
\begin{align*}
\text{PH}&=\sqrt{\text{CP}^2-\text{CH}^2} \\[4pt]
&=\sqrt{r^2-d^2}
\end{align*}
となるから,求める弦PQの長さは
\begin{align*}
\text{PQ}&=2\text{PH} \\[4pt]
&=2\sqrt{r^2-d^2}
\end{align*}

交点の座標を利用する

ヒロ
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円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点P,Qの座標を求めることで,弦PQの長さを2点P,Q間の距離として求めることができる。

ヒロ
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この方法のデメリットとしては,2つの交点の座標を求める計算が面倒なことだろう。

ヒロ
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ただし,問題によっては2つの交点の座標を求めさせることもあるため,そのような問題に対しては,その流れで2点間の距離を求めることで弦の長さを求めればよい。

ヒロ
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交点の座標を利用するなら,次の考え方を知っておくと良いだろう。

【交点の座標をうまく利用する】
 円 $C$ と $y$ 軸に平行でない直線 $l$ が2点P,Qで交わっているときを考える。
円Cと直線lが2点P,Qで交わっている
 ここで,$l$ の傾きを $m$ とし,2点P,Qの $x$ 座標をそれぞれ $p,~q$ とする。また,点Pから直線 $x=q$ に下ろした垂線の足をHとする。
PQの長さを求めるために直角三角形PQHに着目する
 PQを斜辺とする直角三角形 $\sankaku{PQH}$ に着目する。直線 $l$ の傾きが $m$ であるから,
\begin{align*}
\text{PH}:\text{QH}=1:m
\end{align*}
が成り立つ。これより
\begin{align*}
\text{PH}:\text{PQ}=1:\sqrt{m^2+1}
\end{align*}
となる。
PQの長さを求めるために三平方の定理を利用する
 したがって,弦PQの長さは
\begin{align*}
\text{PQ}&=\sqrt{m^2+1}\,\text{PH} \\[4pt]&=(q-p)\sqrt{m^2+1}
\end{align*}
ヒロ
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この考え方を利用することで,2点P,Qの $x$ 座標を求めた後,$y$ 座標を求める必要がなくなるため,計算が少し楽になるだろう。

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