成績を上げるためには自宅学習!

各記事に対応する動画の作成開始しました。
チャンネル登録お願いいたします。

詳細はこちら

【数学ⅡB】不定積分の計算【中央大・摂南大】

不定積分の計算数学IAIIB

不定積分の計算について解説します。

まず,不定積分とは何かを知りましょう。

また,積分の演算は,微分の演算の逆とみることができます。したがって,積分の計算をするためには,微分の計算を正しく行えることが重要です。

意味を正しく知り,正しく計算できるようになりましょう。

スポンサーリンク

不定積分とは

例えば,関数 $f(x)=x^3$ を考えて微分すると次のようになる。
\begin{align*}
f'(x)=3x^2
\end{align*}
この計算から,微分すると $3x^2$ になる関数が $x^3$ であることが分かる。
 しかし,微分すると $3x^2$ になる関数は $x^3$ だけでなく,他にも存在する。具体的には
\begin{align*}
(x^3+5)’=3x^2
\end{align*}
となることから,微分すると $3x^2$ になる関数として,$x^3+5$ があることが分かる。定数を微分すると0になることから,$x^3+C$($C$ は定数)と表される関数を微分するとすべて $3x^2$ となる。
 このように微分すると $3x^2$ になる関数は無限に存在し,そのそれぞれを $3x^2$ の原始関数といい,原始関数の全体は $3x^2+C$ と表せる。定数 $C$ を積分定数という。また,原始関数全体のことを不定積分という。
不定積分とは微分すると $f(x)$ になる関数それぞれのことを $f(x)$ の原始関数といい,原始関数の全体のことを不定積分という。また,原始関数を求める操作のことを「積分する」という。
ヒロ
ヒロ

不定積分の表し方も知っておこう。

不定積分$F'(x)=f(x)$ のとき
\begin{align*}
\dint{}{}f(x)\;dx=F(x)+C(Cは積分定数)
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

積分の基本公式も理解して覚えよう。

積分の基本公式$n$ が0以上の整数のとき
\begin{align*}
\dint{}{}x^n\;dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C(Cは積分定数)
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$x$ の累乗の積分を言葉で表すと「指数に1を加えて,その指数の逆数をかける」となる。

2021年 中央大

2021年 中央大自然数 $n$ に対し $f_n(x)=x^{-1+\frac{1}{n}}~(x>0)$ とおくとき,関数 $f_n(x)$ の不定積分を求めよ。
【解答と考え方】
指数に1を加えると,$-1+\dfrac{1}{n}+1=\dfrac{1}{n}$ であり,この逆数は $n$ であるから,求める不定積分は次のようになる。
\begin{align*}
\dint{}{}x^{-1+\frac{1}{n}}\;dx=nx^{\frac{1}{n}}+C(Cは積分定数)
\end{align*}

2019年 摂南大

2019年 摂南大2点 $(3,~-1)$,$(-3,~9)$ を通る曲線 $y=f(x)$ 上の任意の点 $(x,~y)$ における接線の傾きが $2x^2-4x-1$ に比例するとき,$f(x)$ を求めたい。
$f'(x)$ は定数 $k$ を用いて $k(2x^2-4x-1)$ と表せる。
$f(x)$ は $f'(x)$ の不定積分によって表すことができ,$y=f(x)$ が2点 $(3,~-1)$,$(-3,~9)$ を通ることから,
\begin{align*}
f(x)=-\dfrac{\myhako{}}{\myhako{}}x^3+\dfrac{\myhako{}}{\myhako{}}x^2+\dfrac{\myhako{}}{\myhako{}}x-\myhako{}
\end{align*}
となる。
【解答と考え方】
$f'(x)$ を積分することで $f(x)$ を求めることができる。
\begin{align*}
f'(x)=k(2x^2-4x-1)
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
f(x)&=\dint{}{}k(2x^2-4x-1)\;dx \\[4pt]
&=k\left(\dfrac{2}{3}x^3-2x^2-x\right)+C~(Cは積分定数)
\end{align*}
$k$ と $C$ を求めなければならないが,これは$y=f(x)$ が通る2点が与えられているから,連立方程式を解くことで求められる。
2点 $(3,~-1),~(-3,~9)$ を通るから
\begin{align*}
&\begin{cases}
(18-18-3)k+C=-1 \\[4pt]
(-18-18+3)k+C=9
\end{cases} \\[4pt]
&\begin{cases}
-3k+C=-1 \\[4pt]
-33k+C=9
\end{cases}\\[4pt]
&k=-\dfrac{1}{3},~C=-2
\end{align*}
よって,$f(x)$ は次のようになる。
\begin{align*}
&f(x)=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}x^3-2x^2-x\right)-2 \\[4pt]
&f(x)=-\dfrac{2}{9}x^3+\dfrac{2}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x-2
\end{align*}
タイトルとURLをコピーしました