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定期テストで実際に出題された対称式に関する問題2
対称式に関する問題2$x=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，$y=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ のとき，次の式の値を求めよ。
(1) $x+y$
(2) $x^3+y^3$
(1) $x+y$
(2) $x^3+y^3$
ヒロ
まずは和を求めよう。
これも通分することが有理化につながってるタイプですね。
【(1)の解答】
\begin{align*}
x+y&=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{3}}{3-2} \\[4pt]
&=2\sqrt{3}
\end{align*}
x+y&=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{3}}{3-2} \\[4pt]
&=2\sqrt{3}
\end{align*}
(2) $x^3+y^3$
ヒロ
この式は対称式だから $x+y$ と $xy$ だけで表せるね。
ヒロ
さっきみたいに $xy$ の値を求める問題がなくても，自分で $xy$ の値を求めて解決しよう。
【(2)の解答】
\begin{align*}
xy&=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{3-2} \\[4pt]
&=1
\end{align*}
よってxy&=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{3-2} \\[4pt]
&=1
\end{align*}
\begin{align*}
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt]
&=(2\sqrt{3})^3-3\Cdota1\Cdota2\sqrt{3} \\[4pt]
&=24\sqrt{3}-6\sqrt{3} \\[4pt]
&=18\sqrt{3}
\end{align*}
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt]
&=(2\sqrt{3})^3-3\Cdota1\Cdota2\sqrt{3} \\[4pt]
&=24\sqrt{3}-6\sqrt{3} \\[4pt]
&=18\sqrt{3}
\end{align*}
定期テストで実際に出題された対称式に関する問題3
対称式に関する問題3$x=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$，$y=\sqrt{5}-2$ のとき，次の式の値を求めよ。
(1) $x+y,~xy$
(2) $x^2+y^2$
(3) $x^2y+xy^2$
(1) $x+y,~xy$
(2) $x^2+y^2$
(3) $x^2y+xy^2$
ヒロ
$x+y$ を求めるときは $x$ を有理化してから計算した方が良いね。
ヒロ
ここで次の変形は当然だと思えるような意識を持ってほしい。
【追加説明】
\begin{align*}
&(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \\[4pt]
&=(n+1)-n \\[4pt]
&=1
\end{align*}
となるから，&(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \\[4pt]
&=(n+1)-n \\[4pt]
&=1
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}
\end{align*}
が成り立つ。\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}
\end{align*}
【(1)の解答】
\begin{align*}
x+y&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}+(\sqrt{5}-2) \\[4pt]
&=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2) \\[4pt]
&=2\sqrt{5}
\end{align*}
x+y&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}+(\sqrt{5}-2) \\[4pt]
&=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2) \\[4pt]
&=2\sqrt{5}
\end{align*}
(2) $x^2+y^2$
ヒロ
(1)が解ければ，もう大丈夫だろう。
【(2)の解答】
\begin{align*}
xy&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}\times(\sqrt{5}-2)=1
\end{align*}
であるからxy&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}\times(\sqrt{5}-2)=1
\end{align*}
\begin{align*}
x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt]
&=(2\sqrt{5})^2-2\Cdota1 \\[4pt]
&=18
\end{align*}
x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt]
&=(2\sqrt{5})^2-2\Cdota1 \\[4pt]
&=18
\end{align*}
(3) $x^2y+xy^2$
ヒロ
この式の $x$ と $y$ を入れ替えると $y^2x+yx^2$ となって元の式と変わらないから対称式だね。
ヒロ
ということで $x+y$ と $xy$ だけで表せるはず。
【(3)の解答】
\begin{align*}
x^2y+xy^2&=xy(x+y) \\[4pt]
&=1\times2\sqrt{5} \\[4pt]
&=2\sqrt{5}
\end{align*}
x^2y+xy^2&=xy(x+y) \\[4pt]
&=1\times2\sqrt{5} \\[4pt]
&=2\sqrt{5}
\end{align*}