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定期テストで実際に出題された対称式に関する問題4
対称式に関する問題4$x=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}$，$y=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ のとき，次の式の値を求めよ。
(1) $x+y,~xy$
(2) $x^2+y^2$
(3) $x^3+y^3$
(1) $x+y,~xy$
(2) $x^2+y^2$
(3) $x^3+y^3$
ヒロ
$xy=1$ になることはすぐに分かるはずで，そこから $x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ と分かるね。
【(1)の解答】
\begin{align*}
x+y&=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}+\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \\[4pt]
&=\sqrt{5} \\[4pt]
xy&=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}\times\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \\[4pt]
&=1
\end{align*}
x+y&=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}+\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \\[4pt]
&=\sqrt{5} \\[4pt]
xy&=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}\times\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \\[4pt]
&=1
\end{align*}
(2) $x^2+y^2$
ヒロ
サクサク解いていこう。
【(2)の解答】
\begin{align*}
x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^2-2\Cdota1 \\[4pt]
&=3
\end{align*}
x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^2-2\Cdota1 \\[4pt]
&=3
\end{align*}
(3) $x^3+y^3$
【(3)の解答】
\begin{align*}
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^3-3\Cdota1\Cdota\sqrt{5} \\[4pt]
&=5\sqrt{5}-3\sqrt{5} \\[4pt]
&=2\sqrt{5}
\end{align*}
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^3-3\Cdota1\Cdota\sqrt{5} \\[4pt]
&=5\sqrt{5}-3\sqrt{5} \\[4pt]
&=2\sqrt{5}
\end{align*}
定期テストで実際に出題された対称式に関する問題5
対称式に関する問題5$x=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$，$y=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ のとき，次の式の値を求めよ。
(1) $x+y,~xy$
(2) $x^2+y^2$
(3) $x^3+y^3$
(4) $x^5+y^5$
(1) $x+y,~xy$
(2) $x^2+y^2$
(3) $x^3+y^3$
(4) $x^5+y^5$
ヒロ
面倒だなぁって思うだろうけど頑張ろう。
【(1)の解答】
\begin{align*}
x+y&=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} \\[4pt]
&=\dfrac{2(5+3)}{2} \\[4pt]
&=8 \\[4pt]
xy&=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt]
&=1
\end{align*}
x+y&=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} \\[4pt]
&=\dfrac{2(5+3)}{2} \\[4pt]
&=8 \\[4pt]
xy&=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt]
&=1
\end{align*}
ヒロ
和と差の2乗の和の公式を使っている。
和と差の2乗の和
\begin{align*}
(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)
\end{align*}
(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)
\end{align*}
(2) $x^2+y^2$
ヒロ
$x+y$ と $xy$ を求めた後は今までと同じだね。
【(2)の解答】
\begin{align*}
x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt]
&=8^2-2\Cdota1 \\[4pt]
&=62
\end{align*}
x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt]
&=8^2-2\Cdota1 \\[4pt]
&=62
\end{align*}
(3) $x^3+y^3$
ヒロ
この式変形も慣れてきただろう。
【(3)の解答】
\begin{align*}
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt]
&=8^3-3\Cdota1\Cdota8 \\[4pt]
&=8\times(64-3) \\[4pt]
&=8\times61 \\[4pt]
&=488
\end{align*}
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt]
&=8^3-3\Cdota1\Cdota8 \\[4pt]
&=8\times(64-3) \\[4pt]
&=8\times61 \\[4pt]
&=488
\end{align*}
(4) $x^5+y^5$
ヒロ
最後は5乗の和だけど，ここまで解けたら分かるかも？
ヒロ
すでに2乗の和と3乗の和の値が分かっているから，再利用できるように変形していこう。
【(4)の解答】
\begin{align*}
x^5+y^5&=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2y^2(x+y) \\[4pt]
&=62\times488-1^2\times8 \\[4pt]
&=30248
\end{align*}
x^5+y^5&=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2y^2(x+y) \\[4pt]
&=62\times488-1^2\times8 \\[4pt]
&=30248
\end{align*}