Contents
定期テストで実際に出題された対称式に関する問題4
対称式に関する問題4x=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}，y=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} のとき，次の式の値を求めよ。
(1) x+y,~xy
(2) x^2+y^2
(3) x^3+y^3
(1) x+y,~xy
(2) x^2+y^2
(3) x^3+y^3
ヒロ
xy=1 になることはすぐに分かるはずで，そこから x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} と分かるね。
【(1)の解答】
\begin{align*} x+y&=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}+\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \\[4pt] &=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \\[4pt] &=\sqrt{5} \\[4pt] xy&=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}\times\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \\[4pt] &=1 \end{align*}
(2) x^2+y^2
ヒロ
サクサク解いていこう。
【(2)の解答】
\begin{align*} x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt] &=(\sqrt{5})^2-2\Cdota1 \\[4pt] &=3 \end{align*}
(3) x^3+y^3
【(3)の解答】
\begin{align*} x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt] &=(\sqrt{5})^3-3\Cdota1\Cdota\sqrt{5} \\[4pt] &=5\sqrt{5}-3\sqrt{5} \\[4pt] &=2\sqrt{5} \end{align*}
定期テストで実際に出題された対称式に関する問題5
対称式に関する問題5x=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}，y=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} のとき，次の式の値を求めよ。
(1) x+y,~xy
(2) x^2+y^2
(3) x^3+y^3
(4) x^5+y^5
(1) x+y,~xy
(2) x^2+y^2
(3) x^3+y^3
(4) x^5+y^5
ヒロ
面倒だなぁって思うだろうけど頑張ろう。
【(1)の解答】
\begin{align*} x+y&=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt] &=\dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} \\[4pt] &=\dfrac{2(5+3)}{2} \\[4pt] &=8 \\[4pt] xy&=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt] &=1 \end{align*}
ヒロ
和と差の2乗の和の公式を使っている。
和と差の2乗の和
\begin{align*} (x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2) \end{align*}
(2) x^2+y^2
ヒロ
x+y と xy を求めた後は今までと同じだね。
【(2)の解答】
\begin{align*} x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt] &=8^2-2\Cdota1 \\[4pt] &=62 \end{align*}
(3) x^3+y^3
ヒロ
この式変形も慣れてきただろう。
【(3)の解答】
\begin{align*} x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt] &=8^3-3\Cdota1\Cdota8 \\[4pt] &=8\times(64-3) \\[4pt] &=8\times61 \\[4pt] &=488 \end{align*}
(4) x^5+y^5
ヒロ
最後は5乗の和だけど，ここまで解けたら分かるかも？
ヒロ
すでに2乗の和と3乗の和の値が分かっているから，再利用できるように変形していこう。
【(4)の解答】
\begin{align*} x^5+y^5&=(x^2+y^2)(x^3+y^3)-x^2y^2(x+y) \\[4pt] &=62\times488-1^2\times8 \\[4pt] &=30248 \end{align*}