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定期テストで実際に出題された対称式に関する問題1
ヒロ
それでは実際に高校1年の1学期中間テストに実際に出題された対称式に関する問題を解いていこう。
対称式に関する問題1$x=\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$，$y=\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ のとき，次の式の値を求めよ。
(1) $x+y$
(2) $xy$
(3) $x^2+y^2$
(4) $x^3+y^3$
(1) $x+y$
(2) $xy$
(3) $x^2+y^2$
(4) $x^3+y^3$
これはまずは有理化ですね！
ヒロ
いやいや・・・何でもかんでも有理化するのは良くないね。
ヒロ
有理化するべきときと有理化しなくても良い場合があることを知ろう。
ヒロ
今回の問題では有理化する必要はないよ。
ヒロ
それは計算していくと分かるはず。
【(1)の解答】
\begin{align*}
x+y&=\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{5}}{5-3}=\dfrac{2\sqrt{5}}{2} \\[4pt]
&=\sqrt{5}
\end{align*}
x+y&=\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})+(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{5}}{5-3}=\dfrac{2\sqrt{5}}{2} \\[4pt]
&=\sqrt{5}
\end{align*}
通分することが有理化することになるから，最初に有理化する必要がないんですね！
ヒロ
そういうこと。
(2) $xy$
ヒロ
かけるだけだから簡単だね。
【(2)の解答】
\begin{align*}
&\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{5-3} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}
\end{align*}
&\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\times\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{5-3} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}
\end{align*}
(3) $x^2+y^2$
ヒロ
この式は対称式だから $x+y$ と $xy$ で表して，(1)と(2)で求めた値を代入しよう。
【(3)の解答】
\begin{align*}
x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^2-2\Cdota\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=5-1 \\[4pt]
&=4
\end{align*}
x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^2-2\Cdota\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=5-1 \\[4pt]
&=4
\end{align*}
(4) $x^3+y^3$
ヒロ
(3)と同じように，$x+y$ と $xy$ で表そう。
【(4)の解答】
\begin{align*}
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^3-3\Cdota\dfrac{1}{2}\Cdota\sqrt{5} \\[4pt]
&=5\sqrt{5}-\dfrac{3}{2}\sqrt{5} \\[4pt]
&=\dfrac{7}{2}\sqrt{5}
\end{align*}
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt]
&=(\sqrt{5})^3-3\Cdota\dfrac{1}{2}\Cdota\sqrt{5} \\[4pt]
&=5\sqrt{5}-\dfrac{3}{2}\sqrt{5} \\[4pt]
&=\dfrac{7}{2}\sqrt{5}
\end{align*}