(2)の解説
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(2) $\Sum{k=2}{n}k(k-1)\nCk{n}{k}$
(2)も $k(k-1)$ の部分を定数化することを考えれば良いんですね。
そうだね。ちょっと変形が難しいよ。
k(k-1)\nCk{n}{k}&=k(k-1)\Cdota\dfrac{n!}{k!(n-k)!} \\[4pt]
&=k(k-1)\Cdota\dfrac{n!}{k(k-1)(k-2)!(n-k)!} \\[4pt]
&=\dfrac{n!}{(k-2)!(n-k)!} \\[4pt]
&=n(n-1)\Cdota\dfrac{({\color{blue}{n-2}})!}{({\color{green}{k-2}})!\bigl(({\color{blue}{n-2}})-({\color{green}{k-2}})\bigr)!} \\[4pt]
&=n(n-1)\nCk{{\color{blue}{n-2}}}{{\color{green}{k-2}}}
\end{align*}
特に青色と緑色の部分に注意しよう。
なるほど。(1)の変形が少し難しくなっただけでほとんど一緒ですね。
ついでに，この変形がサクッとできるように意味を捉えておこう。
$n$ 人からリーダーとサブリーダーの2人を含む $k$ 人を選ぶ方法の総数を考えよう。その総数を求める方法として，次の2つの考え方がある。
(ii) $n$ 人からリーダーとサブリーダーの2人を選んだ後で，残りの $n-2$ 人からリーダーとサブリーダー以外の $k-2$ 人を選ぶ。
(i)のとき，$n$ 人から $k$ 人を選ぶ方法が $\nCk{n}{k}$ 通りで，その各々について，その $k$ 人からリーダーとサブリーダーを選ぶ方法が $k(k-1)$ 通りある。よって，このときの選ぶ方法の総数は，$k(k-1)\nCk{n}{k}$ 通り。
(ii)のとき，$n$ 人からリーダーとサブリーダーの2人を選ぶ方法が $n(n-1)$ 通りで，その各々について，その2人以外の $n-2$ 人から残りの $k-2$ 人を選ぶ方法が $\nCk{n-2}{k-2}$ 通りある。よって，このときの選ぶ方法の総数は，$n(n-1)\nCk{n-2}{k-2}$ 通り。
(i)と(ii)のどちらで考えても総数は等しいから，
k(k-1)\nCk{n}{k}=n(n-1)\nCk{n-2}{k-2}
\end{align*}
これで(2)もできます。
\Sum{k=2}{n}k(k-1)\nCk{n}{k}&=\Sum{k=2}{n}n(n-1)\nCk{n-2}{k-2} \\[4pt]
&=n(n-1)(\nCk{n-2}{0}+\nCk{n-2}{1}+\cdots+\nCk{n-2}{n-2}) \\[4pt]
&=n(n-1)\Cdota2^{n-2}~\cdots\cdots ②
\end{align*}
(3)の解説
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(3) $\Sum{k=1}{n}k^2\nCk{n}{k}$
次の(3)をやってみよう。
(1),(2),(3)の順番で出題された場合はメチャ簡単ですね。
\Sum{k=1}{n}k^2\nCk{n}{k}&=\Sum{k=1}{n}\{k+k(k-1)\}\nCk{n}{k} \\[4pt]
&=\Sum{k=1}{n}k\nCk{n}{k}+\Sum{k=1}{n}k(k-1)\nCk{n}{k} \\[4pt]
&=\Sum{k=1}{n}k\nCk{n}{k}+\Sum{k={\color{red}2}}{n}k(k-1)\nCk{n}{k} \\[4pt]
&=n\Cdota2^{n-1}+n(n-1)\Cdota2^{n-2} \\[4pt]
&=n\Cdota2^{n-2}\{2+(n-1)\} \\[4pt]
&=n(n+1)\Cdota2^{n-2}~\cdots\cdots ③
\end{align*}
こうやって前の問題を利用してしまえば終わりです。
うまく処理したね。ここでは別の変形もやっておこう。
\Sum{k=1}{n}k^2\nCk{n}{k}&=\Sum{k=1}{n}k\Cdota{\color{red}k\nCk{n}{k}} \\[4pt]
&=\Sum{k=1}{n}k\Cdota{\color{red}n\nCk{n-1}{k-1}} \\[4pt]
&=n\Sum{k=1}{n}\{(k-1)\nCk{n-1}{k-1}+\nCk{n-1}{k-1}\} \\[4pt]
&=n\Sum{k={\color{red}2}}{n}(k-1)\nCk{n-1}{k-1}+n\Sum{k=1}{n}\nCk{n-1}{k-1} \\[4pt]
&=n\Sum{k=2}{n}(n-1)\nCk{n-2}{k-2}+n\Sum{k=1}{n}\nCk{n-1}{k-1} \\[4pt]
&=n(n-1)\Cdota2^{n-2}+n\Cdota2^{n-1} \\[4pt]
&=n(n+1)\Cdota2^{n-2}
\end{align*}
いきなりこれが出題されたら結構大変ですね。
次のように考えると少し楽ができるよ。
(i) 1人が兼任するとき，リーダー1人を選んだ後で，残りの $n-1$ 人から $k-1$ 人を選ぶ。
(ii) 1人が兼任しないとき，$n$ 人からリーダーとサブリーダーの2人を選んだ後で，残りの $n-2$ 人からリーダーとサブリーダー以外の $k-2$ 人を選ぶ。ただし，$k$ が2以上のとき。
(i)のとき，$n$ 人から1人を選ぶ方法が $n$ 通りで，その各々について，残りの $n-1$ 人から $k-1$ 人を選ぶ方法が $\nCk{n-1}{k-1}$ 通りある。よって，このときの選ぶ方法の総数は，$n\nCk{n-1}{k-1}$ 通り。
(ii)のとき，$n$ 人からリーダーとサブリーダーの2人を選ぶ方法が $n(n-1)$ 通りで，その各々について，その2人以外の $n-2$ 人から残りの $k-2$ 人を選ぶ方法が $\nCk{n-2}{k-2}$ 通りある。よって，このときの選ぶ方法の総数は，$n(n-1)\nCk{n-2}{k-2}$ 通り。ただし，$k=1$ のときは0通りとする。
(i)と(ii)のどちらで考えても総数は等しいから，
k^2\nCk{n}{k}=n\nCk{n-1}{k-1}+n(n-1)\nCk{n-2}{k-2}
\end{align*}
\Sum{k=1}{n}k^2\nCk{n}{k}&=\Sum{k=1}{n}n\nCk{n-1}{k-1}+\Sum{k=2}{n}n(n-1)\nCk{n-2}{k-2} \\[4pt]
&=n\Cdota2^{n-1}+n(n-1)\Cdota2^{n-2} \\[4pt]
&=n\{2+(n-1)\}\Cdota2^{n-2} \\[4pt]
&=n(n+1)\Cdota2^{n-2}
\end{align*}