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2020年センター試験 数学ⅡB 第2問 微積

2020年 センター数学ⅡB 微積数学IAIIB
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2020年センター試験 数学ⅡB 第2問 微積の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2020年 センターⅡB 第2問 微積 $a>0$ とし,$f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1$ とおく。座標平面上で,放物線 $y=x^2+2x+1$ を $C$,放物線 $y=f(x)$ を $D$ とする。また,$\ell$ を $C$ と $D$ の両方に接する直線とする。
(1) $\ell$ の方程式を求めよう。
 $\ell$ と $C$ は点 $(t,~t^2+2t+1)$ において接するとすると,$\ell$ の方程式は
\begin{align*}
y=\left(\myBox{ア}\,t+\myBox{イ}\right)x-t^2+\myBox{ウ}~\cdots\cdots①
\end{align*}
である。また,$\ell$ と $D$ は点 $(s,~f(s))$ において接するとすると,
$\ell$ の方程式は
\begin{align*}
y&=\left(\myBox{エ}\,s-\myBox{オ}\,a+\myBox{カ}\right)x \\[4pt]
&    -s^2+\myBox{キ}\,a^2+\myBox{ク}~\cdots\cdots②
\end{align*}
である。ここで,①と②は同じ直線を表しているので,
$t=\myBox{ケ}$, $s=\myBox{コ}\,a$ が成り立つ。
 したがって,$\ell$ の方程式は $y=\myBox{サ}\,x+\myBox{シ}$ である。
(2) 二つの放物線 $C,~D$ の交点の $x$ 座標は $\myBox{ス}$ である。
 $C$ と直線 $\ell$,および直線 $x=\mybox{ス}$ で囲まれた図形の面積を $S$ とすると,
$S=\dfrac{a^{\myBox{セ}}}{\myBox{ソ}}$ である。
(3) $a\geqq\dfrac{1}{2}$ とする。二つの放物線 $C,~D$ と直線 $\ell$ で囲まれた図形の中で $0\leqq x\leqq1$ を満たす部分の面積 $T$ は,$a>\myBox{タ}$ のとき,$a$ の値によらず
\begin{align*}
T=\dfrac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}}
\end{align*}
であり,$\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq\mybox{タ}$ のとき
\begin{align*}
T=-\myBox{テ}\,a^3+\myBox{ト}\,a^2-\myBox{ナ}\,a+\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}
\end{align*}
である。
(4) 次に,(2),(3)で定めた $S,~T$ に対して,$U=2T-3S$ とおく。$a$ が $\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq\mybox{タ}$ の範囲を動くとき,$U$ は $a=\dfrac{\myBox{ネ}}{\myBox{ノ}}$ で最大値 $\dfrac{\myBox{ハ}}{\myBox{ヒフ}}$ をとる。
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(1)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

接点の座標から接線を求める問題。

ヒロ
ヒロ

2次関数のグラフがもつ2乗に比例する性質を利用して一発で接線の方程式を求めよう。

【ア~ウの解答】
$y=x^2+2x+1$ より,$y’=2x+2$ であるから,$\ell$ の方程式は
\begin{align*}
y=(2t+2)x-t^2+1~\cdots\cdots①
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

同じように求めよう。

【エ~クの解答】
$f(x)=x^2-(4a-2)x+4a^2+1$ より,$f'(x)=2x-(4a-2)$ であるから,$\ell$ の方程式は
\begin{align*}
y=(2s-4a+2)x-s^2+4a^2+1~\cdots\cdots②
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

①と②が同じ直線であることから,$t$ と $s$ を決定する問題。

ヒロ
ヒロ

$x$ の係数と定数項が等しくなるときだから,連立方程式を解けば良いけど,面倒そうなので別の方法で解こう。

ヒロ
ヒロ

$x^2$ の係数が等しいから,共通接線 $\ell$ の傾きは2つの放物線 $C,~D$ の頂点を通る直線の傾きに等しいことを利用しよう。

【ケコの解答】
2つの放物線 $C,~D$ の頂点の座標はそれぞれ
\begin{align*}
(-1,~0),~(2a-1,~4a)
\end{align*}
となるから,2つの頂点を通る直線の傾きは2である。
①より
\begin{align*}
&2t+2=2 \\[4pt]&t=0
\end{align*}
②より
\begin{align*}
&2s-4a+2=2 \\[4pt]&s=2a
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$\ell$ の方程式を求めよう。

【サシの方程式】
①に $t=0$ を代入して,$y=2x+1$

(2)の考え方と解答

(2) 二つの放物線 $C,~D$ の交点の $x$ 座標は $\myBox{ス}$ である。
 $C$ と直線 $\ell$,および直線 $x=\mybox{ス}$ で囲まれた図形の面積を $S$ とすると,
$S=\dfrac{a^{\myBox{セ}}}{\myBox{ソ}}$ である。

ヒロ
ヒロ

$x^2$ の係数が等しい二つの放物線の交点の $x$ 座標は,二つの放物線の共通接線との接点の $x$ 座標の平均に等しいことを利用しよう。

【スの解答】
2つの放物線 $C,~D$ と $\ell$ との接点の $x$ 座標は,$0,~2a$ であるから,$C,~D$ の交点の $x$ 座標は
\begin{align*}
\dfrac{0+2a}{2}=a
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

放物線・接線・$y$ 軸に平行な直線で囲まれる図形の面積は $\dfrac{1}{3}$ 公式だね。

【セソの解答】
$\ell$ と $C$ の接点($x$ 座標は0)と $x=a$ との距離は $a$ であるから $\dfrac{1}{3}$ 公式より
\begin{align*}
S=\dfrac{a^3}{3}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

ここまでは図を描かずに想像するだけで楽に解けた。

(3)の考え方と解答

(3) $a\geqq\dfrac{1}{2}$ とする。二つの放物線 $C,~D$ と直線 $\ell$ で囲まれた図形の中で $0\leqq x\leqq1$ を満たす部分の面積 $T$ は,$a>\myBox{タ}$ のとき,$a$ の値によらず

\begin{align*}
T=\dfrac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}}
\end{align*}
であり,$\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq\mybox{タ}$ のとき
\begin{align*}
T=-\myBox{テ}\,a^3+\myBox{ト}\,a^2-\myBox{ナ}\,a+\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}
\end{align*}
である。

ヒロ
ヒロ

ここからは図を描こう。

【状況把握のための図】
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ヒロ
ヒロ

直線 $x=1$ がある位置によって面積 $T$ が変わることを確認しよう。

ヒロ
ヒロ

確認できたらあとは場合分けして答えるだけだね。

【タ~ツの解答】
$a>1$ のときは $a$ の値によらず $T$ は一定である。
2020年 センター数学ⅡB 微積
$T$ は $\dfrac{1}{3}$ 公式より,$T=\dfrac{1}{3}$
$a\geqq\dfrac{1}{2}$ より $2a\geqq1$ であるから,直線 $x=1$ が $a\leqq1\leqq2a$ の範囲にあるとき,すなわち $\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq1$ のときを考える。
2020年 センター数学ⅡB 微積
このとき $T$ は上図の斜線部分の面積であるが,緑色で塗った部分を合わせた面積を
$\dfrac{1}{12}$ 公式で簡単に求められることと,緑色で塗った部分の面積は $\dfrac{1}{3}$ 公式で簡単に求められることを利用すると,
\begin{align*}
T&=\dfrac{1}{12}(2a)^3-\dfrac{1}{3}(2a-1)^3 \\[4pt]
&=\dfrac{2}{3}a^3-\left(\dfrac{8}{3}a^3-4a^2+2a-\dfrac{1}{3}\right) \\[4pt]
&=-2a^3+4a^2-2a+\dfrac{1}{3}
\end{align*}

(4)の考え方と解答

(4) 次に,(2),(3)で定めた $S,~T$ に対して,$U=2T-3S$ とおく。$a$ が $\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq\mybox{タ}$ の範囲を動くとき,$U$ は $a=\dfrac{\myBox{ネ}}{\myBox{ノ}}$ で最大値 $\dfrac{\myBox{ハ}}{\myBox{ヒフ}}$ をとる。

ヒロ
ヒロ

$S,~T$ から新たな関数 $U$ の最大値を求める問題。微分して増減を調べよう。

【ネ~フの解答】
$\dfrac{1}{2}\leqq a\leqq1$ のとき
\begin{align*}
U&=2T-3S \\[4pt]
&=2\left(-2a^3+4a^2-2a+\dfrac{1}{3}\right)-3\Cdota\dfrac{a^3}{3} \\[4pt]
&=-5a^3+8a^2-4a+\dfrac{2}{3} \\[4pt]
U’&=-15a^2+16a-4
\end{align*}
$U’=0$ を解くと
\begin{align*}
&15a^2-16a+4=0 \\[4pt]
&(3a-2)(5a-2)=0 \\[4pt]
&a=\dfrac{2}{3},~\dfrac{2}{5}
\end{align*}
$a^3$ の係数が負であるから,$a=\dfrac{2}{5}$ で極小,$a=\dfrac{2}{3}$ で極大となる。$\dfrac{1}{2}\leqq\dfrac{2}{3}\leqq1$ より,$U$ は $a=\dfrac{2}{3}$ で最大値をとる。最大値は
\begin{align*}
U&=2\left\{\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^3
-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\right\}-\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \\[4pt]
&=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^3
-\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 \\[4pt]
&=\dfrac{1}{3}\Cdota\dfrac{2^3-2\Cdot1^3}{3^3}=\dfrac{6}{81} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{27}
\end{align*}

2020年 センター数学ⅡB 微積を解いた感想

ヒロ
ヒロ

最初の共通接線も真面目に解くと連立方程式を解くことになり面倒。

ヒロ
ヒロ

2つの放物線の交点もいちいち方程式を解くのでは,せっかく時間短縮できるところなのに勿体ない。

ヒロ
ヒロ

$S,~T$ を求める際に3分の1公式や12分の1公式を利用しないとなると,これもまた時間がそれなりにかかるだろう。

ヒロ
ヒロ

逆にほとんどの問題に対して,この記事の解法のように時短公式で処理することができれば,かなりの時間短縮ができる。

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