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【数学ⅡB】シグマ計算【山口大】

シグマ計算 山口大数学IAIIB

ここでは和の記号Σ(シグマ)について説明します。

まずは,シグマの意味を知ることから始めましょう。

また,シグマの性質と和の公式を利用して様々な数列の和を求められるようにしましょう。

シグマ公式の証明が入試で出題されることもあるため,証明できるようにしておくと良いでしょう。

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和の記号Σ

ヒロ
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和の記号シグマの定義は次のようになっている。

シグマの定義
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n}a_k=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n
\end{align*}

自然数に関する和の公式

ヒロ
ヒロ

自然数に関する和の公式には次のようなものがある。

自然数に関する和の公式
  1. $\displaystyle
    1+2+3+\cdots+n=\Sum{k=1}{n}k=\dfrac{1}{2}n(n+1)
    $
  2. $\displaystyle
    1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\Sum{k=1}{n}k^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)
    $
  3. $\displaystyle
    1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\Sum{k=1}{n}k^3=\dfrac{1}{4}n^2(n+1)^2
    $
ヒロ
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他の公式としては次のようなものがある。

シグマ公式
  1. $\displaystyle
    \Sum{k=1}{n}c=nc(c は定数)
    $
  2. $\displaystyle
    \Sum{k=1}{n}r^{k-1}=\dfrac{1-r^n}{1-r}=\dfrac{r^n-1}{r-1}(r\neq1)
    $
ヒロ
ヒロ

2つ目については,等比数列の和の公式を理解していれば覚える必要はない。

シグマの性質

ヒロ
ヒロ

シグマには次のような性質がある。

シグマの性質
  1. $\displaystyle
    \Sum{k=1}{n}(a_k+b_k)=\Sum{k=1}{n}a_k+\Sum{k=1}{n}b_k
    $
  2. $\displaystyle
    \Sum{k=1}{n}pa_k=p\Sum{k=1}{n}a_k
    $

シグマ公式の証明

ヒロ
ヒロ

シグマ公式を証明しておこう。

【自然数の和の公式の証明】
初項1,末項 $n$,項数 $n$ の等差数列の和を考えると
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n}k=\dfrac{1+n}{2}\Cdota n=\dfrac{1}{2}n(n+1)
\end{align*}
【平方数の和の公式の証明】
$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$ であるから,$k=1$ から $k=n$ までの和を考えて
\begin{align*}
&\Sum{k=1}{n}(3k^2+3k+1)=\Sum{k=1}{n}\{(k+1)^3-k^3\} \\[4pt]
&3\Sum{k=1}{n}k^2+\dfrac{4+(3n+1)}{2}\Cdota n=(n+1)^3-1
\end{align*}
これより
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n}k^2&=\dfrac{n^3+3n^2+3n}{3}-\dfrac{(3n+5)n}{6} \\[4pt]
&=\dfrac{2n^3+3n^2+n}{6} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)
\end{align*}
【立方数の和の公式の証明】
$(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$ であるから,$k=1$ から $k=n$ までの和を考えて
\begin{align*}
&\Sum{k=1}{n}(4k^3+6k^2+4k+1)=\Sum{k=1}{n}\{(k+1)^4-k^4\} \\[4pt]
&4\Sum{k=1}{n}k^3+6\Cdota\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+4\Cdota\dfrac{1}{2}n(n+1)+n=(n+1)^4-1
\end{align*}
これより
\begin{align*}
\Sum{k=1}{n}k^3&=\dfrac{n^4+4n^3+6n^2+4n}{4}-\dfrac{1}{4}n(n+1)(2n+1)-\dfrac{1}{2}n(n+1)-\dfrac{1}{4}n \\[4pt]
&=\dfrac{1}{4}n\{(n^3+4n^2+6n+4)-(n+1)(2n+1)-2(n+1)-1\} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{4}n(n^3+2n^2+n) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{4}n^2(n^2+2n+1) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{4}n^2(n+1)^2
\end{align*}

2021年 山口大

2021年 山口大一般項が $a_n=n(n+1)$ である数列を $\{a_n\}$ とし,
\begin{align*}
b_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\Sum{k=1}{n}a_k,~c_n=\Sum{k=1}{n}b_k~(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}
とする。このとき,次の問いに答えなさい。
(1) 数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めなさい。
(2) 数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めなさい。

プリントを次のリンクからダウンロードできます。
【(1)の解答と考え方】
\begin{align*}
b_n&=\Sum{k=1}{n}k(k+1) \\[4pt]&=\Sum{k=1}{n}(k^2+k) \\[4pt]&=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\dfrac{1}{2}n(n+1) \\[4pt]&=\dfrac{1}{6}n(n+1)\{(2n+1)+3\} \\[4pt]&=\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)
\end{align*}

(2) 数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めなさい。

【(2)の解答と考え方】
\begin{align*}
c_n&=\Sum{k=1}{n}\dfrac{1}{3}k(k+1)(k+2) \\[4pt]&=\Sum{k=1}{n}\dfrac{1}{3}(k^3+3k^2+2k) \\[4pt]&=\dfrac{1}{3}\Cdota\dfrac{1}{4}n^2(n+1)^2+\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\dfrac{1}{3}n(n+1) \\[4pt]&=\dfrac{1}{12}n(n+1)\{n(n+1)+2(2n+1)+4\} \\[4pt]&=\dfrac{1}{12}n(n+1)(n^2+5n+6) \\[4pt]&=\dfrac{1}{12}n(n+1)(n+2)(n+3)
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

別解があるので紹介しておく。考え方が重要なのでマスターしよう。

【(1)の別解】
\begin{align*}
b_n&=\Sum{k=1}{n}k(k+1) \\[4pt]&=\Sum{k=1}{n}\dfrac{1}{3}\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\} \\[4pt]&=\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)
\end{align*}
【(2)の別解】
\begin{align*}
c_n&=\Sum{k=1}{n}\dfrac{1}{3}k(k+1)(k+2) \\[4pt]&=\Sum{k=1}{n}\dfrac{1}{12}\{k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\} \\[4pt]&=\dfrac{1}{12}n(n+1)(n+2)(n+3)
\end{align*}
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