Contents
- ページ1
- ページ2
- 1 組立除法と剰余の定理
- ページ3
- 1 累乗の和で表す計算
- ページ4
- 1 組立除法と恒等式
- ページ5
- 1 部分分数分解
- 2 まとめ
部分分数分解
ヒロ
今回はIAIIBの範囲での出題だったけど，次のような積分の問題として出題されることもある。
不定積分 $\displaystyle\int\frac{5x^3-12x^2+8x+1}{(x-1)^4}\;dx$ を求めよ。
ヒロ
この場合も，今回の変形が役に立つ。分数式をいくつかの分数式の和で表す変形のことを部分分数分解というから覚えておこう。
ぶぶんぶぶんぶん・・・
ヒロ
まあ，名前は良いから変形方法を覚えといて？ちなみに積分の答えは次のようになる。
\begin{align*}
&\int\frac{5x^3-12x^2+8x+1}{(x-1)^4}\;dx \\[4pt]
&=\int\left\{\frac{5}{x-1}+\frac{3}{(x-1)^2}
-\frac{1}{(x-1)^3}+\frac{2}{(x-1)^4}\right\}\;dx \\[4pt]
&=5\log|x-1|-\frac{3}{x-1}+\frac{1}{2(x-1)^2}-\frac{2}{3(x-1)^3}+C
\end{align*}
ただし，$C$ は積分定数とする。&\int\frac{5x^3-12x^2+8x+1}{(x-1)^4}\;dx \\[4pt]
&=\int\left\{\frac{5}{x-1}+\frac{3}{(x-1)^2}
-\frac{1}{(x-1)^3}+\frac{2}{(x-1)^4}\right\}\;dx \\[4pt]
&=5\log|x-1|-\frac{3}{x-1}+\frac{1}{2(x-1)^2}-\frac{2}{3(x-1)^3}+C
\end{align*}
ヒロ
ってことで今日の授業は終了だ！
ありがとうございました。
まとめ
ヒロ
組立除法などで割り算を行い，商と余りをうまく利用することで，分数式の恒等式の未定係数を簡単に求めることができる。
ヒロ
また，分数式を複数の分数の和で表すことは，10進数を2進数で表す問題などとも関連がある。
恒等式の問題を簡単に解く方法とは？
恒等式の未定係数を簡単に求める方法を説明します。展開して係数を等号で結んで連立方程式を解くのはしんどいですよね。もちろん，ただ面倒なだけの問題もありますが，工夫することによって，圧倒的に簡単に未定係数を求める方法があることを知りましょう。
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2019.06.18
マーク式試験や私大入試で使える時間短縮できる公式
センター試験のようなマーク式試験や答えだけを求めれば良い私大入試において，答えを簡単に求めることができる公式を利用することで，解答にかかる時短を短縮することができます。瞬時に判断して使いこなせるように練習して身に付けましょう。
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2019.11.30