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分数式の恒等式の未定係数を簡単に求める方法とは?

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分数式の恒等式と割り算の商と余り数学IAIIB

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部分分数分解

ヒロ
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今回はIAIIBの範囲での出題だったけど,次のような積分の問題として出題されることもある。

不定積分 $\displaystyle\int\frac{5x^3-12x^2+8x+1}{(x-1)^4}\;dx$ を求めよ。
ヒロ
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この場合も,今回の変形が役に立つ。分数式をいくつかの分数式の和で表す変形のことを部分分数分解というから覚えておこう。

ぶぶんぶぶんぶん・・・

ヒロ
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まあ,名前は良いから変形方法を覚えといて?ちなみに積分の答えは次のようになる。

\begin{align*}
&\int\frac{5x^3-12x^2+8x+1}{(x-1)^4}\;dx \\[4pt]
&=\int\left\{\frac{5}{x-1}+\frac{3}{(x-1)^2}
-\frac{1}{(x-1)^3}+\frac{2}{(x-1)^4}\right\}\;dx \\[4pt]
&=5\log|x-1|-\frac{3}{x-1}+\frac{1}{2(x-1)^2}-\frac{2}{3(x-1)^3}+C
\end{align*}
ただし,$C$ は積分定数とする。
ヒロ
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ってことで今日の授業は終了だ!

ありがとうございました。

まとめ

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組立除法などで割り算を行い,商と余りをうまく利用することで,分数式の恒等式の未定係数を簡単に求めることができる。

ヒロ
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また,分数式を複数の分数の和で表すことは,10進数を2進数で表す問題などとも関連がある。

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