【数学IA】90°±θと180°-θの三角比【グラグラするとかしないとか】

Contents

グラグラするとかしないとか

ヒロ

「グラグラするとかしないとか」と呼ばれる簡易法を説明する。

ヒロ

慣れれば3秒で変形できるようになるだろう。

【グラグラするとかしないとか】
まずは次のルールを覚えよう。

90°系は「変わる」，180°系は「変わらない」
$\theta$ は小さな正の角
符号は元の三角比で考える

ここで「変わる」とは

\begin{align*}
&\sin \Longrightarrow \cos \\[4pt]
&\cos \Longrightarrow \sin \\[4pt]
&\tan \Longrightarrow \dfrac{1}{\tan}
\end{align*}

と変わることを表している。逆に「変わらない」は $\sin,~\cos,~\tan$ がそのまま変わらないことを表す。
「変わる」と「変わらない」は角材の安定度で判断すると覚えやすい。角材が垂直に立っているとき（90°系）はグラグラして不安定だから「変わる」，水平になっているとき（180°系）は安定して「変わらない」という具合に関連付けると忘れないだろう。

ヒロ

それでは具体的に説明していく。

【具体的な説明】
$\cos(90\Deg+\theta)$ の書き換えを考える。
まず $90\Deg$ を見て「90°系」と判断する。したがって，符号を無視すると $\cos(90\Deg+\theta)=\sin\theta$ となる。あとは符号が正ならそのままで，負ならマイナスを付けて完成。
符号を考えるときは $\theta$ は小さな正の角として，元の符号を考える。元の符号というのは，今回は $\cos(90\Deg+\theta)$ の符号ということで，点Pの $x$ 座標の符号を考える。簡単に単位円を描くか思い浮かべよう。

点Pの $x$ 座標は負であるから，マイナスを付けて

\begin{align*}
\cos(90\Deg+\theta)=-\sin\theta
\end{align*}

となる。$\sin(90\Deg+\theta)$ の場合は，90°系で「変わる」から $\cos\theta$ で，符号は上図の点Pの $y$ 座標の符号を見て正と分かるから，

\begin{align*}
\sin(90\Deg+\theta)=\cos\theta
\end{align*}

となる。$\tan(90\Deg+\theta)$ の場合は「変わる」から $\dfrac{1}{\tan\theta}$ で，符号はOPの傾きを見て負と分かるから

\begin{align*}
\tan(90\Deg+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}
\end{align*}

ヒロ

次に $180\Deg-\theta$ の三角比を考えよう。

【$180\Deg-\theta$ の三角比】

$\cos(180\Deg-\theta)$ の場合，180°系で「変わらない」から $\cos\theta$ で，符号は上図の点Pの $x$ 座標を見て負と分かるから

\begin{align*}
\cos(180\Deg-\theta)=-\cos\theta
\end{align*}

同じようにして $\sin(180\Deg-\theta)$ と $\tan(180\Deg-\theta)$ も考えよう。
180°系で「変わらない」からそれぞれ $\sin\theta,~\tan\theta$ で，サインの符号は点Pの $y$ 座標を見て正であり，タンジェントの符号はOPの傾きを見て負であるから

\begin{align*}
&\sin(180\Deg-\theta)=\sin\theta \\[4pt]
&\tan(180\Deg-\theta)=-\tan\theta
\end{align*}

となる。

ヒロ

この方法を身に付けることで，数学Ⅱで角が180°以上に拡張されても柔軟に対応することができる。

【180°以上の角に対応】
例えば $\cos(180\Deg+\theta)$ の場合は，180°系で「変わらない」から，符号を無視して $\cos\theta$ となる。

符号は上図の点Pの $x$ 座標を見て負であるから，

\begin{align*}
\cos(180\Deg+\theta)=-\cos\theta
\end{align*}

となる。サインやタンジェントも同様に考えて

\begin{align*}
&\sin(180\Deg+\theta)=-\sin\theta \\[4pt]
&\tan(180\Deg+\theta)=\tan\theta
\end{align*}

となることがすぐに分かるだろう。

90°±θ，180°-θ の三角比のまとめ

ヒロ

$90\Deg\pm\theta,~180\Deg-\theta$ の三角比をまとめておく。

三角比の変形のまとめ

$\sin(90\Deg-\theta)=\cos\theta$
$\cos(90\Deg-\theta)=\sin\theta$
$\tan(90\Deg-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}$
$\sin(180\Deg-\theta)=\sin\theta$
$\cos(180\Deg-\theta)=-\cos\theta$
$\tan(180\Deg-\theta)=-\tan\theta$
$\cos(90\Deg+\theta)=-\sin\theta$
$\sin(90\Deg+\theta)=\cos\theta$
$\tan(90\Deg+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}$