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【数学IA】90°±θと180°-θの三角比【グラグラするとかしないとか】

三角比の変形 グラグラするとかしないとか数学IAIIB
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グラグラするとかしないとか

ヒロ
ヒロ

「グラグラするとかしないとか」と呼ばれる簡易法を説明する。

ヒロ
ヒロ

慣れれば3秒で変形できるようになるだろう。

【グラグラするとかしないとか】
まずは次のルールを覚えよう。
  • 90°系は「変わる」,180°系は「変わらない」
  • $\theta$ は小さな正の角
  • 符号は元の三角比で考える

ここで「変わる」とは

\begin{align*}
&\sin \Longrightarrow \cos \\[4pt]&\cos \Longrightarrow \sin \\[4pt]&\tan \Longrightarrow \dfrac{1}{\tan}
\end{align*}
と変わることを表している。逆に「変わらない」は $\sin,~\cos,~\tan$ がそのまま変わらないことを表す。
「変わる」と「変わらない」は角材の安定度で判断すると覚えやすい。角材が垂直に立っているとき(90°系)はグラグラして不安定だから「変わる」,水平になっているとき(180°系)は安定して「変わらない」という具合に関連付けると忘れないだろう。
グラグラするとかしないとか
ヒロ
ヒロ

それでは具体的に説明していく。

【具体的な説明】
$\cos(90\Deg+\theta)$ の書き換えを考える。
まず $90\Deg$ を見て「90°系」と判断する。したがって,符号を無視すると $\cos(90\Deg+\theta)=\sin\theta$ となる。あとは符号が正ならそのままで,負ならマイナスを付けて完成。
符号を考えるときは $\theta$ は小さな正の角として,元の符号を考える。元の符号というのは,今回は $\cos(90\Deg+\theta)$ の符号ということで,点Pの $x$ 座標の符号を考える。簡単に単位円を描くか思い浮かべよう。
グラグラするとかしないとか
点Pの $x$ 座標は負であるから,マイナスを付けて
\begin{align*}
\cos(90\Deg+\theta)=-\sin\theta
\end{align*}
となる。$\sin(90\Deg+\theta)$ の場合は,90°系で「変わる」から $\cos\theta$ で,符号は上図の点Pの $y$ 座標の符号を見て正と分かるから,
\begin{align*}
\sin(90\Deg+\theta)=\cos\theta
\end{align*}
となる。$\tan(90\Deg+\theta)$ の場合は「変わる」から $\dfrac{1}{\tan\theta}$ で,符号はOPの傾きを見て負と分かるから
\begin{align*}
\tan(90\Deg+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次に $180\Deg-\theta$ の三角比を考えよう。

【$180\Deg-\theta$ の三角比】
グラグラするとかしないとか
$\cos(180\Deg-\theta)$ の場合,180°系で「変わらない」から $\cos\theta$ で,符号は上図の点Pの $x$ 座標を見て負と分かるから
\begin{align*}
\cos(180\Deg-\theta)=-\cos\theta
\end{align*}
同じようにして $\sin(180\Deg-\theta)$ と $\tan(180\Deg-\theta)$ も考えよう。
180°系で「変わらない」からそれぞれ $\sin\theta,~\tan\theta$ で,サインの符号は点Pの $y$ 座標を見て正であり,タンジェントの符号はOPの傾きを見て負であるから
\begin{align*}
&\sin(180\Deg-\theta)=\sin\theta \\[4pt]&\tan(180\Deg-\theta)=-\tan\theta
\end{align*}
となる。
ヒロ
ヒロ

この方法を身に付けることで,数学Ⅱで角が180°以上に拡張されても柔軟に対応することができる。

【180°以上の角に対応】
例えば $\cos(180\Deg+\theta)$ の場合は,180°系で「変わらない」から,符号を無視して $\cos\theta$ となる。
グラグラするとかしないとか
符号は上図の点Pの $x$ 座標を見て負であるから,
\begin{align*}
\cos(180\Deg+\theta)=-\cos\theta
\end{align*}
となる。サインやタンジェントも同様に考えて
\begin{align*}
&\sin(180\Deg+\theta)=-\sin\theta \\[4pt]&\tan(180\Deg+\theta)=\tan\theta
\end{align*}
となることがすぐに分かるだろう。

90°±θ,180°-θ の三角比のまとめ

ヒロ
ヒロ

$90\Deg\pm\theta,~180\Deg-\theta$ の三角比をまとめておく。

三角比の変形のまとめ
  1.  $\sin(90\Deg-\theta)=\cos\theta$
  2.  $\cos(90\Deg-\theta)=\sin\theta$
  3.  $\tan(90\Deg-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}$
  4.  $\sin(180\Deg-\theta)=\sin\theta$
  5.  $\cos(180\Deg-\theta)=-\cos\theta$
  6.  $\tan(180\Deg-\theta)=-\tan\theta$
  7.  $\cos(90\Deg+\theta)=-\sin\theta$
  8.  $\sin(90\Deg+\theta)=\cos\theta$
  9.  $\tan(90\Deg+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}$
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