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多項定理を理解しよう
ヒロ
それでは多項定理の意味を理解しよう。
【多項定理の意味】
$(a+b+c)^n=(a+b+c)(a+b+c)\cdots(a+b+c)$ であるから，当たり前のことであるが，$a+b+c$ が $n$ 個かけられている。$n$ 個のうち，$a$ を $p$ 個，$b$ を $q$ 個，$c$ を $r$ 個選んだときにできる項は $a^pb^qc^r$ である。ただし，$p+q+r=n$ とする。また，選び方を考えると，$p$ 個の $a$，$q$ 個の $b$，$r$ 個の $c$ を一列に並べる方法を考えて
$(a+b+c)^n=(a+b+c)(a+b+c)\cdots(a+b+c)$ であるから，当たり前のことであるが，$a+b+c$ が $n$ 個かけられている。$n$ 個のうち，$a$ を $p$ 個，$b$ を $q$ 個，$c$ を $r$ 個選んだときにできる項は $a^pb^qc^r$ である。ただし，$p+q+r=n$ とする。また，選び方を考えると，$p$ 個の $a$，$q$ 個の $b$，$r$ 個の $c$ を一列に並べる方法を考えて
\begin{align*}
\dfrac{(p+q+r)!}{p!q!r!}=\dfrac{n!}{p!q!r!}
\end{align*}
通りあることが分かるから，一般項は $\dfrac{n!}{p!q!r!}a^pb^qc^r$ となる。\dfrac{(p+q+r)!}{p!q!r!}=\dfrac{n!}{p!q!r!}
\end{align*}
多項定理に関する入試問題
2013年 北里大・医$(x+2y+3z)^6$ の展開式における $x^4y^2$ の係数は $\myhako$ であり，$x^3y^2z$ の係数は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
多項定理の考え方を利用しよう。$x^4y^2$ の項になるのは，6個の括弧のうち，$x$ を4個，$2y$ を2個選ぶときだから，$x^4y^2$ の係数は
多項定理の考え方を利用しよう。$x^4y^2$ の項になるのは，6個の括弧のうち，$x$ を4個，$2y$ を2個選ぶときだから，$x^4y^2$ の係数は
\begin{align*}
\dfrac{6!}{4!2!}\Cdota2^2=15\times4=60
\end{align*}
$x^3y^2z$ の項になるのは，6個の括弧のうち，$x$ を3個，$2y$ を2個，$3z$ を1個選ぶときだから，$x^3y^2z$ の係数は\dfrac{6!}{4!2!}\Cdota2^2=15\times4=60
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{6!}{3!2!}\Cdota2^2\Cdota3=60\times12=720
\end{align*}
\dfrac{6!}{3!2!}\Cdota2^2\Cdota3=60\times12=720
\end{align*}