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【数学ⅡB】定積分を含む関数【愛知学院大・藤田医科大】

定積分を含む関数数学IAIIB

定積分を含む関数に関する問題を解説します。

これまで求めるものというと値が多かったのですが,ここでは関数を求める問題を扱います。そのため,これまでとは違った感覚になるでしょう。

どのようにして関数を求めるのかを理解しましょう。仕組みを理解することで,様々な問題を解くことができるようになります。

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定積分は定数である

ヒロ
ヒロ

$x$ の関数を $x$ で定積分の計算をすると定数になる。

ヒロ
ヒロ

これは当たり前のことであるが,しっかり理解しておこう。

定積分は定数$F'(x)=f(x)$ とし,$a,~b$ を定数とするとき
\begin{align*}
\dint{a}{b}f(x)\;dx&=\tint{F(x)}{a}{b} \\[4pt]
&=F(b)-F(a)
\end{align*}
となり,これは定数である。

積分では積分変数に注意

ヒロ
ヒロ

積分計算を行うときは,積分変数をしっかり確認するようにしよう。

例えば,積分変数が $t$ のとき,$\dint{a}{b}xf(t)\;dt$ は定数ではない。
$t$ で積分するときは,$x$ を定数として扱えば良いため,次のように $x$ を積分の外に出すことができる。
\begin{align*}
\dint{a}{b}xf(t)\;dt&=x\dint{a}{b}f(t)\;dt
\end{align*}
ここで,$\dint{a}{b}f(t)\;dt$ は定数であることに注意しよう。定数 $k$ を用いて $\dint{a}{b}f(t)\;dt=k$ と表すと,
\begin{align*}
\dint{a}{b}xf(t)\;dt=kx
\end{align*}
となり,これは $x$ の関数とみることができる。

2021年 愛知学院大

2021年 愛知学院大$f(x)=x^2+2\dint{0}{1}f(x)\;dx$ とすると,$f(x)=0$ をみたす $x$ は $\pm\dfrac{\sqrt{\myhako}}{\myhako}$
【解答と考え方】
$\dint{0}{1}f(x)\;dx$ は定数であるから,
\begin{align*}
\dint{0}{1}f(x)\;dx=k~\cdots\cdots①
\end{align*}
とおくと,$f(x)=x^2+2k$ と表せる。このとき
\begin{align*}
\dint{0}{1}f(x)\;dx&=\dint{0}{1}(x^2+2k)\;dx \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac{1}{3}x^3+2kx}{0}{1} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{3}+2k
\end{align*}
であるから,①より
\begin{align*}
&\dfrac{1}{3}+2k=k \\[4pt]
&k=-\dfrac{1}{3}
\end{align*}
よって,$f(x)=x^2-\dfrac{2}{3}$
$f(x)=0$ より
\begin{align*}
&x^2=\dfrac{2}{3} \\[4pt]
&x=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{3}
\end{align*}

2021年 藤田医科大

2021年 藤田医科大関数 $f(x)=3x^2+x\dint{0}{2}f(t)\;dt+a$ が $f(2)=0$ を満たすとき,$a=\dfrac{\myhako}{\myhako}$ である。
【解答と考え方】
$\dint{0}{2}f(t)\;dt$ は定数であるから
\begin{align*}
\dint{0}{2}f(t)\;dt=k~\cdots\cdots①
\end{align*}
とおくと,$f(x)=3x^2+kx+a$ と表せる。
この時点で2つの文字 $k,~a$ の値を求めないといけないことが確定するので,2本の等式が必要となる。1つは $f(2)=0$ から作ることができる。具体的には次のようになる。
\begin{align*}
&f(2)=12+2k+a=0~\cdots\cdots②
\end{align*}
もう1つは①から作ろう。個人的には不思議な感覚がある。①によって $f(x)$ の形が分かるのに,それを①に入れるというのが,ドラえもんが自分のポケットに入っていくような感じがする。まぁ,こんな話はどうでもよいとして・・・
 $\dint{0}{2}f(t)\;dt$ を計算する際に,被積分関数が $t$ の関数 $f(t)$ になっているので,$f(x)$ の $x$ を $t$ に書き換えて書かなければならない。そのまま $x$ の式で書いてしまうと,積分変数が $t$ だから,$f(x)$ を丸ごと積分の外へ出せることになってしまう。そんな良く分からないことにならないように注意しよう。
\begin{align*}
\dint{0}{2}f(t)\;dt&=\dint{0}{2}(3t^2+kt+a)\;dt \\[4pt]
&=\Tint{t^3+\dfrac{1}{2}kt^2+at}{0}{2} \\[4pt]
&=8+2k+2a
\end{align*}
となるから,①より
\begin{align*}
&8+2k+2a=k \\[4pt]
&k+2a+8=0~\cdots\cdots③
\end{align*}
②,③より,$a=-\dfrac{4}{3},~k=-\dfrac{16}{3}$
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