放物線とは，字の通り投げた物体が描く軌跡のことですが，数学的には，準線と呼ばれる直線 $l$ と $l$ 上にない焦点と呼ばれる1点Fが与えられるとき，準線 $l$ と焦点Fから等距離にある点の軌跡として定義されます。
放物線を数学Iで学習するときは，主に頂点や軸に着目しますが，ここでは準線や焦点に着目します。
Contents
放物線の準線と焦点
ヒロ
準線が $x$ 軸に平行な場合を考えてみよう。
放物線上の点を $\mathrm{P}(x,~y)$，準線を $y=-p$，焦点を $\mathrm{F}(0,~p)$ とすると，点Pは準線と焦点から等距離の位置にあるから
\begin{align*}
&\abs{y-(-p)}=\sqrt{x^2+(y-p)^2}
\end{align*}
両辺を2乗すると&\abs{y-(-p)}=\sqrt{x^2+(y-p)^2}
\end{align*}
\begin{align*}
&(y+p)^2=x^2+(y-p)^2 \\[4pt]
&x^2=4py
\end{align*}
&(y+p)^2=x^2+(y-p)^2 \\[4pt]
&x^2=4py
\end{align*}
ヒロ
次に準線が $y$ 軸に平行な場合を考えてみよう。
放物線上の点を $\mathrm{P}(x,~y)$，準線を $x=-p$，焦点を $\mathrm{F}(p,~0)$ とすると，点Pは準線と焦点から等距離の位置にあるから
\begin{align*}
&\abs{x-(-p)}=\sqrt{(x-p)^2+y^2}
\end{align*}
両辺を2乗すると&\abs{x-(-p)}=\sqrt{(x-p)^2+y^2}
\end{align*}
\begin{align*}
&(x+p)^2=(x-p)^2+y^2 \\[4pt]
&y^2=4px
\end{align*}
&(x+p)^2=(x-p)^2+y^2 \\[4pt]
&y^2=4px
\end{align*}