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2020年 学習院大
2020年 学習院大等式
\begin{align*}
\log_2\left(\log_2(x-2)-\log_{\frac{1}{2}}(x-4)\right)=2
\end{align*}
を満たす実数 $x$ をすべて求めよ。\log_2\left(\log_2(x-2)-\log_{\frac{1}{2}}(x-4)\right)=2
\end{align*}
【考え方と解答】
$\log$ の中に $\log$ が入っているけど落ち着いて処理をしていこう。1つの項だけ底が異なるので，2に統一しよう。底を $\dfrac{1}{2}$ から2に変えることは逆数にすることと同じで，$-1$ 乗することになるから，$\log_{\frac{1}{2}}(x-4)=-\log_2(x-4)$ となる。つまり，与えられた方程式は次のようになる。
このとき①より
$\log$ の中に $\log$ が入っているけど落ち着いて処理をしていこう。1つの項だけ底が異なるので，2に統一しよう。底を $\dfrac{1}{2}$ から2に変えることは逆数にすることと同じで，$-1$ 乗することになるから，$\log_{\frac{1}{2}}(x-4)=-\log_2(x-4)$ となる。つまり，与えられた方程式は次のようになる。
\begin{align*}
\log_2\left(\log_2(x-2)+\log_2(x-4)\right)=2~\cdots\cdots①
\end{align*}
真数は正であるから\log_2\left(\log_2(x-2)+\log_2(x-4)\right)=2~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
x-2>0 &~\cdots\cdots② \\[4pt]
x-4>0 &~\cdots\cdots③ \\[4pt]
\log_2(x-2)+\log_2(x-4)>0 &~\cdots\cdots④
\end{cases}
\end{align*}
①を満たす $x$ は必ず④を満たすから，①と②から定義域は $x>4$ となる。\begin{cases}
x-2>0 &~\cdots\cdots② \\[4pt]
x-4>0 &~\cdots\cdots③ \\[4pt]
\log_2(x-2)+\log_2(x-4)>0 &~\cdots\cdots④
\end{cases}
\end{align*}
このとき①より
\begin{align*}
&\log_2(x-2)+\log_2(x-4)=2^2 \\[4pt]
&\log_2(x-2)(x-4)=4 \\[4pt]
&(x-2)(x-4)=2^4 \\[4pt]
&x^2-6x-8=0 \\[4pt]
&x=3\pm\sqrt{17}
\end{align*}
$x>4$ より，$x=3+\sqrt{17}$&\log_2(x-2)+\log_2(x-4)=2^2 \\[4pt]
&\log_2(x-2)(x-4)=4 \\[4pt]
&(x-2)(x-4)=2^4 \\[4pt]
&x^2-6x-8=0 \\[4pt]
&x=3\pm\sqrt{17}
\end{align*}
2020年 日本女子大
2020年 日本女子大次の連立方程式に関して，以下の問いに答えよ。
(2) 上の連立方程式の解をすべて求めよ。
\begin{align*}
\begin{cases}
x^2+4y^2=80 \\[4pt]
\log_2x+\log_2y=4
\end{cases}
\end{align*}
(1) 上の連立方程式の解 $x,~y$ に対して $t=x+2y$ とおく。$t$ の値を求めよ。\begin{cases}
x^2+4y^2=80 \\[4pt]
\log_2x+\log_2y=4
\end{cases}
\end{align*}
(2) 上の連立方程式の解をすべて求めよ。
【(1)の考え方と解答】
真数は正であるから，$x>0,~y>0$ である。
$\log_2x+\log_2y=4$ より
真数は正であるから，$x>0,~y>0$ である。
$\log_2x+\log_2y=4$ より
\begin{align*}
&\log_2xy=4 \\[4pt]
&xy=16
\end{align*}
$x^2+4y^2=80$ より&\log_2xy=4 \\[4pt]
&xy=16
\end{align*}
\begin{align*}
&(x+2y)^2-4xy=80 \\[4pt]
&t^2-64=80 \\[4pt]
&t^2=144 \\[4pt]
&t=\pm12
\end{align*}
$x>0,~y>0$ より $t=x+2y>0$ であるから，$t=12$&(x+2y)^2-4xy=80 \\[4pt]
&t^2-64=80 \\[4pt]
&t^2=144 \\[4pt]
&t=\pm12
\end{align*}
(2) 上の連立方程式の解をすべて求めよ。
【(2)の考え方と解答】
$x+2y=12$，$xy=16$ より
よって，$(x,~y)=(4,~4),~(8,~2)$
$x+2y=12$，$xy=16$ より
\begin{align*}
&x^2+2xy=12x \\[4pt]
&x^2+32=12x \\[4pt]
&x^2-12x+32=0 \\[4pt]
&(x-4)(x-8)=0 \\[4pt]
&x=4,~8
\end{align*}
$x=4$ のとき $y=4$，$x=8$ のとき $y=2$&x^2+2xy=12x \\[4pt]
&x^2+32=12x \\[4pt]
&x^2-12x+32=0 \\[4pt]
&(x-4)(x-8)=0 \\[4pt]
&x=4,~8
\end{align*}
よって，$(x,~y)=(4,~4),~(8,~2)$
2020年 明治薬科大
2020年 明治薬科大$x$ の方程式 $x^{\log_2x^2-1}=2x^{-2}$ の解を $x=\alpha,~\beta$ としたとき，$\log_{\sqrt{\alpha}}\beta+\log_{\sqrt{\beta}}\alpha=\myhako$ である。
【考え方と解答】
真数条件より $x>0$ である。与えられた方程式より
したがって
真数条件より $x>0$ である。与えられた方程式より
\begin{align*}
&\log_2x^{\log_2x^2-1}=\log_22x^{-2} \\[4pt]&\log_2x(\log_2x^2-1)=\log_22x^{-2} \\[4pt]&\log_2x(2\log_2x-1)=1-2\log_2x \\[4pt]&2(\log_2x)^2+\log_2x-1=0 \\[4pt]&(\log_2x+1)(2\log_2x-1)=0 \\[4pt]&\log_2x=-1,~\dfrac{1}{2}
\end{align*}
$\log_{\sqrt{\alpha}}\beta+\log_{\sqrt{\beta}}\alpha$ は $\alpha,~\beta$ に関して対称であるから，$\log_2\alpha=-1$，$\log_2\beta=\dfrac{1}{2}$ とおける。&\log_2x^{\log_2x^2-1}=\log_22x^{-2} \\[4pt]&\log_2x(\log_2x^2-1)=\log_22x^{-2} \\[4pt]&\log_2x(2\log_2x-1)=1-2\log_2x \\[4pt]&2(\log_2x)^2+\log_2x-1=0 \\[4pt]&(\log_2x+1)(2\log_2x-1)=0 \\[4pt]&\log_2x=-1,~\dfrac{1}{2}
\end{align*}
したがって
\begin{align*}
&\log_{\sqrt{\alpha}}\beta+\log_{\sqrt{\beta}}\alpha \\[4pt]&=\dfrac{\log_2\beta}{\log_2\sqrt{\alpha}}+\dfrac{\log_2\alpha}{\log_2\sqrt{\beta}} \\[4pt]&=\dfrac{\log_2\beta}{\dfrac{1}{2}\log_2\alpha}+\dfrac{\log_2\alpha}{\dfrac{1}{2}\log_2\beta} \\[4pt]&=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{1}{2}}+\dfrac{-1}{\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{1}{2}} \\[4pt]&=-1-4=-5
\end{align*}
&\log_{\sqrt{\alpha}}\beta+\log_{\sqrt{\beta}}\alpha \\[4pt]&=\dfrac{\log_2\beta}{\log_2\sqrt{\alpha}}+\dfrac{\log_2\alpha}{\log_2\sqrt{\beta}} \\[4pt]&=\dfrac{\log_2\beta}{\dfrac{1}{2}\log_2\alpha}+\dfrac{\log_2\alpha}{\dfrac{1}{2}\log_2\beta} \\[4pt]&=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{-\dfrac{1}{2}}+\dfrac{-1}{\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{1}{2}} \\[4pt]&=-1-4=-5
\end{align*}