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2019年 センター試験 数学ⅠA 第3問 場合の数・確率

2019年 センター数学ⅠA 場合の数・確率数学IAIIB
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2019年センター試験 数学ⅠA 第3問 場合の数・確率の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2019年 センターⅠA 第3問 確率 赤い袋には赤球2個と白球1個が入っており,白い袋には赤球1個と白球1個が入っている。
 最初に,さいころl個を投げて, 3の倍数の目が出たら白い袋を選び,それ以外の目が出たら赤い袋を選び,選んだ袋から球をl個取り出して,球の色を確認してその袋に戻す。ここまでの操作をl回目の操作とする。2回目と3回目の操作では,直前に取り出した球の色と同じ色の袋から球を1個取り出して,球の色を確認してその袋に戻す。
(1) 1回目の操作で,赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は  $\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ であり,白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}$ である。
(2) 2回目の操作が白い袋で行われる確率は $\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カキ}}$ である。
(3) 1回目の操作で白球を取り出す確率を $p$ で表すと,2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}~p+\dfrac{1}{3}$ と表される。
よって,2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{コサ}}{\myBox{シスセ}}$ である。
 同様に考えると,3回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ソタチ}}{\myBox{ツテト}}$ である。
(4) 2回目の操作で取り出した球が白球であったとき,その球を取り出した袋の色が白である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ナニ}}{\myBox{ヌネ}}$ である。
 また,3回目の操作で取り出した球が白球であったとき,はじめて白球が取り出されたのが3回目の操作である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ノハ}}{\myBox{ヒフヘ}}$ である。
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(1)の解答

ヒロ
ヒロ

球を取り出す問題では,何個から何個を取り出すのか,また,取り出した球を元に戻すのかどうかを確認するようにしよう。

【アイの解答】
1回目の操作で赤い袋が選ばれるのは,さいころ1個を投げて,3の倍数以外(1,2,4,5)が出るときでその確率は $\dfrac{2}{3}$ である。
赤い袋から赤球を取り出す確率は $\dfrac{2}{3}$ であるから,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

同じようにして次の問題を解いていく。

【ウエの解答】
1回目の操作で白い袋が選ばれるのは,さいころ1個を投げて,3の倍数(3,6)の目が出るときでその確率は $\dfrac{1}{3}$ である。
白い袋から赤球を取り出す確率は $\dfrac{1}{2}$ であるから,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}
\end{align*}

(2)の解答

(2) 2回目の操作が白い袋で行われる確率は $\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カキ}}$ である。

ヒロ
ヒロ

2回目の操作は直前に取り出した球の色によって,取り出す袋が変わることに注意しよう。

【オ~キの解答】
2回目の操作が白い袋で行われるのは,1回目の操作で白球が取り出されるときである。
1回目の操作で赤球が取り出される確率は,(1)より
\begin{align*}
\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{18}
\end{align*}
であるから,1回目の操作で白球が取り出される確率は
\begin{align*}
1-\dfrac{11}{18}=\dfrac{7}{18}
\end{align*}
よって,2回目の操作が白い袋で行われる確率は $\dfrac{7}{18}$ である。

(3)の解答

(3) 1回目の操作で白球を取り出す確率を $p$ で表すと,
2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}~p+\dfrac{1}{3}$ と表される。
よって,2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{コサ}}{\myBox{シスセ}}$ である。
 同様に考えると,3回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ソタチ}}{\myBox{ツテト}}$ である。

ヒロ
ヒロ

次は1回目の操作と2回目の操作の関係を理解しているかを確認する問題。

ヒロ
ヒロ

1回目の操作で白球を取り出す確率が $p$ と表した場合,1回目の操作で赤球を取り出す確率は $1-p$ となることに注意して解こう。

【クケの解答】
2回目の操作で白球が取り出されるのは,次の(i),(ii)の2つの場合がある。
(i) 赤い袋から白球が取り出されるとき
(ii) 白い袋から白球が取り出されるとき
(i)のとき,1回目の操作で赤球が取り出され,赤い袋から白球が取り出されるから,その確率は
\begin{align*}
(1-p)\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}(1-p)
\end{align*}
(ii)のとき,1回目の操作で白球が取り出され,白い袋から白球が取り出されるから,その確率は
\begin{align*}
p\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}p
\end{align*}
(i),(ii)より,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{1}{3}(1-p)+\dfrac{1}{2}p=\dfrac{1}{6}p+\dfrac{1}{3}
\end{align*}
となる。(2)より,$p=\dfrac{7}{18}$ と分かっているから,2回目の操作で白球が取り出される確率は
\begin{align*}
\dfrac{1}{6}\Cdota\dfrac{7}{18}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{43}{108}
\end{align*}
である。
ヒロ
ヒロ

「同様に考える」ことができるかどうかが問題だね。

ヒロ
ヒロ

さっきは1回目の操作で白球を取り出す確率を $p$ で表すと,2回目の操作で白球が取り出される確率が $\dfrac{1}{6}p+\dfrac{1}{3}$ と表された。

ヒロ
ヒロ

このことから,2回目の操作で白球を取り出す確率を $q$ で表すと,3回目の操作で白球が取り出される確率が $\dfrac{1}{6}q+\dfrac{1}{3}$ と表されることが理解できるかどうかがポイントとなるね。

ヒロ
ヒロ

それぞれの操作において,取り出した球を元の袋に戻すから,何回目というのは関係なくなることを理解しよう。

【ソ~トの解答】
2回目の操作で白球を取り出す確率を $q$ とすると,$q=\dfrac{43}{108}$ であるから,3回目の操作で白球が取り出される確率は
\begin{align*}
\dfrac{1}{6}\Cdota\dfrac{43}{108}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{259}{648}
\end{align*}

(4)の解答

(4) 2回目の操作で取り出した球が白球であったとき,
その球を取り出した袋の色が白である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ナニ}}{\myBox{ヌネ}}$ である。
 また,3回目の操作で取り出した球が白球であったとき,はじめて白球が取り出されたのが3回目
の操作である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ノハ}}{\myBox{ヒフヘ}}$ である。

ヒロ
ヒロ

最後の小問は条件付き確率を求める問題。

【ナ~ネの解答】
2回目の操作で取り出した球が白球である事象を $A$,2回目の操作が白い袋で行われる事象を $B$ とすると,求める条件付き確率は $\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ である。$P(A)=\dfrac{43}{108}$, $P(A\cap B)=\dfrac{7}{18}\Cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{36}$ より,
\begin{align*}
\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{7}{36}}{\dfrac{43}{108}}=\dfrac{21}{43}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後の問題も同様に考えよう。

【ノ~ヘの解答】
3回目の操作で取り出した球が白球である事象を $C$,3回目の操作ではじめて白球が取り出される事象を $D$ とすると,求める条件付き確率は $\dfrac{P(C\cap D)}{P(C)}$ である。
$P(C)=\dfrac{259}{648}$ であり,$P(C\cap D)$ は1回目に赤球を取り出し,2回目も赤球を取り出し,3回目に白球を取り出す確率であるから
\begin{align*}
P(C\cap D)=\dfrac{11}{18}\Cdota\dfrac{2}{3}\Cdota\dfrac{1}{3}=\dfrac{11}{81}
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
\dfrac{P(C\cap D)}{P(C)}=\dfrac{11}{81}\Cdota\dfrac{648}{259}=\dfrac{88}{259}
\end{align*}

2019年 センター数学ⅠA 場合の数・確率を解いた感想

ヒロ
ヒロ

(2)では(1)を再利用できると少し速くなるだろう。

ヒロ
ヒロ

(3)では漸化式に関する知識があるかどうかで,同様に考えることができるかどうかが変わるような気がする。

ヒロ
ヒロ

(4)は条件付き確率の求め方を知っておくことは当然として,落ち着いて計算することが何より重要である。

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