2019年センター試験 数学ⅠA 第3問 場合の数・確率の解説をします。
まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。
最初に，さいころl個を投げて， 3の倍数の目が出たら白い袋を選び，それ以外の目が出たら赤い袋を選び，選んだ袋から球をl個取り出して，球の色を確認してその袋に戻す。ここまでの操作をl回目の操作とする。2回目と3回目の操作では，直前に取り出した球の色と同じ色の袋から球を1個取り出して，球の色を確認してその袋に戻す。
(1) 1回目の操作で，赤い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ であり，白い袋が選ばれ赤球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}$ である。
(2) 2回目の操作が白い袋で行われる確率は $\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カキ}}$ である。
(3) 1回目の操作で白球を取り出す確率を $p$ で表すと，2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}~p+\dfrac{1}{3}$ と表される。
よって，2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{コサ}}{\myBox{シスセ}}$ である。
同様に考えると，3回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ソタチ}}{\myBox{ツテト}}$ である。
(4) 2回目の操作で取り出した球が白球であったとき，その球を取り出した袋の色が白である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ナニ}}{\myBox{ヌネ}}$ である。
また，3回目の操作で取り出した球が白球であったとき，はじめて白球が取り出されたのが3回目の操作である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ノハ}}{\myBox{ヒフヘ}}$ である。
(1)の解答
球を取り出す問題では，何個から何個を取り出すのか，また，取り出した球を元に戻すのかどうかを確認するようにしよう。
1回目の操作で赤い袋が選ばれるのは，さいころ1個を投げて，3の倍数以外（1,2,4,5）が出るときでその確率は $\dfrac{2}{3}$ である。
赤い袋から赤球を取り出す確率は $\dfrac{2}{3}$ であるから，求める確率は
\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}
\end{align*}
同じようにして次の問題を解いていく。
1回目の操作で白い袋が選ばれるのは，さいころ1個を投げて，3の倍数（3,6）の目が出るときでその確率は $\dfrac{1}{3}$ である。
白い袋から赤球を取り出す確率は $\dfrac{1}{2}$ であるから，求める確率は
\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}
\end{align*}
(2)の解答
(2) 2回目の操作が白い袋で行われる確率は $\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カキ}}$ である。
2回目の操作は直前に取り出した球の色によって，取り出す袋が変わることに注意しよう。
2回目の操作が白い袋で行われるのは，1回目の操作で白球が取り出されるときである。
1回目の操作で赤球が取り出される確率は，(1)より
\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{18}
\end{align*}
1-\dfrac{11}{18}=\dfrac{7}{18}
\end{align*}
(3)の解答
(3) 1回目の操作で白球を取り出す確率を $p$ で表すと，
2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}~p+\dfrac{1}{3}$ と表される。
よって，2回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{コサ}}{\myBox{シスセ}}$ である。
同様に考えると，3回目の操作で白球が取り出される確率は $\dfrac{\myBox{ソタチ}}{\myBox{ツテト}}$ である。
次は1回目の操作と2回目の操作の関係を理解しているかを確認する問題。
1回目の操作で白球を取り出す確率が $p$ と表した場合，1回目の操作で赤球を取り出す確率は $1-p$ となることに注意して解こう。
2回目の操作で白球が取り出されるのは，次の(i),(ii)の2つの場合がある。
(i) 赤い袋から白球が取り出されるとき
(ii) 白い袋から白球が取り出されるとき
(i)のとき，1回目の操作で赤球が取り出され，赤い袋から白球が取り出されるから，その確率は
(1-p)\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}(1-p)
\end{align*}
p\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}p
\end{align*}
\dfrac{1}{3}(1-p)+\dfrac{1}{2}p=\dfrac{1}{6}p+\dfrac{1}{3}
\end{align*}
\dfrac{1}{6}\Cdota\dfrac{7}{18}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{43}{108}
\end{align*}
「同様に考える」ことができるかどうかが問題だね。
さっきは1回目の操作で白球を取り出す確率を $p$ で表すと，2回目の操作で白球が取り出される確率が $\dfrac{1}{6}p+\dfrac{1}{3}$ と表された。
このことから，2回目の操作で白球を取り出す確率を $q$ で表すと，3回目の操作で白球が取り出される確率が $\dfrac{1}{6}q+\dfrac{1}{3}$ と表されることが理解できるかどうかがポイントとなるね。
それぞれの操作において，取り出した球を元の袋に戻すから，何回目というのは関係なくなることを理解しよう。
2回目の操作で白球を取り出す確率を $q$ とすると，$q=\dfrac{43}{108}$ であるから，3回目の操作で白球が取り出される確率は
\dfrac{1}{6}\Cdota\dfrac{43}{108}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{259}{648}
\end{align*}
(4)の解答
(4) 2回目の操作で取り出した球が白球であったとき，
その球を取り出した袋の色が白である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ナニ}}{\myBox{ヌネ}}$ である。
また，3回目の操作で取り出した球が白球であったとき，はじめて白球が取り出されたのが3回目
の操作である条件付き確率は $\dfrac{\myBox{ノハ}}{\myBox{ヒフヘ}}$ である。
最後の小問は条件付き確率を求める問題。
2回目の操作で取り出した球が白球である事象を $A$，2回目の操作が白い袋で行われる事象を $B$ とすると，求める条件付き確率は $\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ である。$P(A)=\dfrac{43}{108}$, $P(A\cap B)=\dfrac{7}{18}\Cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{36}$ より，
\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{\dfrac{7}{36}}{\dfrac{43}{108}}=\dfrac{21}{43}
\end{align*}
最後の問題も同様に考えよう。
3回目の操作で取り出した球が白球である事象を $C$，3回目の操作ではじめて白球が取り出される事象を $D$ とすると，求める条件付き確率は $\dfrac{P(C\cap D)}{P(C)}$ である。
$P(C)=\dfrac{259}{648}$ であり，$P(C\cap D)$ は1回目に赤球を取り出し，2回目も赤球を取り出し，3回目に白球を取り出す確率であるから
P(C\cap D)=\dfrac{11}{18}\Cdota\dfrac{2}{3}\Cdota\dfrac{1}{3}=\dfrac{11}{81}
\end{align*}
\dfrac{P(C\cap D)}{P(C)}=\dfrac{11}{81}\Cdota\dfrac{648}{259}=\dfrac{88}{259}
\end{align*}
2019年 センター数学ⅠA 場合の数・確率を解いた感想
(2)では(1)を再利用できると少し速くなるだろう。
(3)では漸化式に関する知識があるかどうかで，同様に考えることができるかどうかが変わるような気がする。
(4)は条件付き確率の求め方を知っておくことは当然として，落ち着いて計算することが何より重要である。
