Contents
- ページ1
- 1 剰余の定理
- ページ2
- 1 剰余の定理に関する問題
- 2 余りを求める問題
- ページ3
- 1 余りを求める問題2
余りを求める問題2
2020年 明治薬科大整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると6余り，$(x+1)^2$ で割ると $-7x+1$ 余る。$P(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りは $\myhako$ であり，$(x+1)^2(x-1)$ で割ったときの余りは $\myhako$ である。
【前半の考え方と解答】
$x^2-1=(x-1)(x+1)$ であることと，$P(x)$ を $x-1$ で割ると6余ることから，$P(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りは $a(x-1)+6$ と表せる。したがって，$P(x)$ は多項式 $Q_1(x)$ を用いて
$x^2-1=(x-1)(x+1)$ であることと，$P(x)$ を $x-1$ で割ると6余ることから，$P(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りは $a(x-1)+6$ と表せる。したがって，$P(x)$ は多項式 $Q_1(x)$ を用いて
\begin{align*}
P(x)=(x^2-1)Q_1(x)+a(x-1)+6~\cdots\cdots①
\end{align*}
と表せる。また，$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると $-7x+1$ 余るからP(x)=(x^2-1)Q_1(x)+a(x-1)+6~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
P(x)=(x+1)^2Q_2(x)-7x+1
\end{align*}
と表せる。$x=-1$ を代入するとP(x)=(x+1)^2Q_2(x)-7x+1
\end{align*}
\begin{align*}
P(-1)=8
\end{align*}
となるから，①よりP(-1)=8
\end{align*}
\begin{align*}
&-2a+6=8 \\[4pt]
&a=-1
\end{align*}
よって，$P(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りは&-2a+6=8 \\[4pt]
&a=-1
\end{align*}
\begin{align*}
-(x-1)+6=-x+7
\end{align*}
-(x-1)+6=-x+7
\end{align*}
ヒロ
次に後半の空欄を求める。
【後半の考え方と解答】
同じように考えて，与えられた条件より
同じように考えて，与えられた条件より
\begin{align*}
P(x)=(x+1)^2(x-1)Q_3(x)+b(x+1)^2-7x+1
\end{align*}
と表せる。$P(1)=6$ よりP(x)=(x+1)^2(x-1)Q_3(x)+b(x+1)^2-7x+1
\end{align*}
\begin{align*}
&4b-6=6 \\[4pt]
&b=3
\end{align*}
よって，求める余りは&4b-6=6 \\[4pt]
&b=3
\end{align*}
\begin{align*}
3(x+1)^2-7x+1=3x^2-x+4
\end{align*}
3(x+1)^2-7x+1=3x^2-x+4
\end{align*}
ヒロ
この解答で用いた考え方は「条件をみたすように式を設定する」考え方であり，どこか「3点を通る2次関数を簡単に求める方法」と共通する部分がある。
ヒロ
是非とも身に付けて欲しい考え方である。