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【数学ⅡB】剰余の定理と恒等式【東海大・東京女子大・明治薬科大】

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余りを求める問題2

2020年 明治薬科大整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると6余り,$(x+1)^2$ で割ると $-7x+1$ 余る。$P(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りは $\myhako$ であり,$(x+1)^2(x-1)$ で割ったときの余りは $\myhako$ である。
【前半の考え方と解答】
$x^2-1=(x-1)(x+1)$ であることと,$P(x)$ を $x-1$ で割ると6余ることから,$P(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りは $a(x-1)+6$ と表せる。したがって,$P(x)$ は多項式 $Q_1(x)$ を用いて
\begin{align*}
P(x)=(x^2-1)Q_1(x)+a(x-1)+6~\cdots\cdots①
\end{align*}
と表せる。また,$P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると $-7x+1$ 余るから
\begin{align*}
P(x)=(x+1)^2Q_2(x)-7x+1
\end{align*}
と表せる。$x=-1$ を代入すると
\begin{align*}
P(-1)=8
\end{align*}
となるから,①より
\begin{align*}
&-2a+6=8 \\[4pt]&a=-1
\end{align*}
よって,$P(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りは
\begin{align*}
-(x-1)+6=-x+7
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次に後半の空欄を求める。

【後半の考え方と解答】
同じように考えて,与えられた条件より
\begin{align*}
P(x)=(x+1)^2(x-1)Q_3(x)+b(x+1)^2-7x+1
\end{align*}
と表せる。$P(1)=6$ より
\begin{align*}
&4b-6=6 \\[4pt]&b=3
\end{align*}
よって,求める余りは
\begin{align*}
3(x+1)^2-7x+1=3x^2-x+4
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

この解答で用いた考え方は「条件をみたすように式を設定する」考え方であり,どこか「3点を通る2次関数を簡単に求める方法」と共通する部分がある。

ヒロ
ヒロ

是非とも身に付けて欲しい考え方である。

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