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【数学ⅡB】剰余の定理と恒等式【東海大・東京女子大・明治薬科大】

剰余の定理と恒等式数学IAIIB
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剰余の定理に関する問題

2020年 東海大・医$a$ を実数の範囲で変化させるとき,$f(x)=4x^3+5ax^2+a^2x+3x-a$ を $x-1$ で割ったときの余り $R$ のとり得る値の範囲は $\myhako$ である。
ヒロ
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大学入試で,多項式を1次式で割ったときの余りだけを求める問題はあまり出題されない。

ヒロ
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この問題のように,他の分野との融合問題として出題されることもある。

ヒロ
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確実に得点できるようにしたい。

【考え方と解答】
まずは $R$ を求めよう。剰余の定理より,$R=f(1)$ であるから
\begin{align*}
R&=4+5a+a^2+3-a \\[4pt]
&=a^2+4a+7 \\[4pt]
&=(a+2)^2+3
\end{align*}
$a$ が実数の範囲を動くとき,$(a+2)^2\geqq0$ であるから,求める $R$ のとり得る値の範囲は,$R\geqq3$

余りを求める問題

2020年 東京女子大整式 $P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りが $11x-11$ で,$x-1$ で割ったときの余りが6である。このとき,$P(x)$ を $(x-1)(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求めよ。
【考え方と解答】
 まず,求めるものを確認しよう。求めるものは,多項式を3次式で割ったときの余りであるから,答えは2次以下の多項式になることが分かる。したがって,未知数として3文字用意すればよい。そうなると,3つの独立した方程式を立てるために,3つの条件が必要となる。問題文から条件を表す記述「○○が××である」を探すと,2つ見つけることができる。一見,2つの条件にしか見えない状態から3つの方程式を立てるところがポイントとなる。
 $P(x)$ を $(x-1)(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りは $ax^2+bx+c$ とおけるから,商を $Q_1(x)$ とすると
\begin{align*}
P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q_1(x)+ax^2+bx+c~\cdots\cdots①
\end{align*}
が成り立つ。また,$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りが $11x-11$ であるから,
\begin{align*}
P(x)=(x-2)(x-3)Q_2(x)+11x-11~\cdots\cdots②
\end{align*}
が成り立つ。さらに,$P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りが6であるから,剰余の定理より
\begin{align*}
P(1)=6~\cdots\cdots③
\end{align*}
となる。①,③より
\begin{align*}
a+b+c=6~\cdots\cdots④
\end{align*}
②において,$x=2,~3$ とすると,
\begin{align*}
P(2)=11,~P(3)=22
\end{align*}
となるから,①より
\begin{align*}
\begin{cases}
4a+2b+c=11~\cdots\cdots⑤ \\[4pt]9a+3b+c=22~\cdots\cdots⑥
\end{cases}
\end{align*}
④,⑤,⑥を解いて
\begin{align*}
a=3,~b=-4,~c=7
\end{align*}
よって,求める余りは $3x^2-4x+7$
ヒロ
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別の解法も身に付けておこう。

【別の考え方と解答】
$P(x)$ を $(x-1)(x-2)(x-3)$ で割った余りは $ax^2+bx+c$ とおけるから
\begin{align*}
P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+ax^2+bx+c
\end{align*}
が成り立つ。ここで,$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割った余りが $11x-11$ であるから,$ax^2+bx+c$ を $(x-2)(x-3)$ で割った余りが $11x-11$ である。つまり
\begin{align*}
ax^2+bx+c=a(x-2)(x-3)+11x-11
\end{align*}
となるから,最初からこのことに触れて
\begin{align*}
P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+a(x-2)(x-3)+11x-11
\end{align*}
とおくのが良いかもしれない。あとは $P(1)=6$ であることから
\begin{align*}
&2a=6 \\[4pt]&a=3
\end{align*}
よって,求める余りは
\begin{align*}
3(x-2)(x-3)+11x-11=3x^2-4x+7
\end{align*}

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