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3点を通る２次関数を簡単に求める方法
それでは，最初の問題を解いていこう。
はい，お願いします。
３点 $(1,8),(-2,2),(-3,4)$ を通る２次関数を求めよ。
とりあえず，$y=a(x-1)(x+2)$ を利用しよう。ただし，このままだと $x=1,~-2$ のときに，$y=0$ となってしまうからダメだね。$x=1$ のときには $y=8$ になって，$x=-2$ のときには $y=2$ になってくれるような便利な式があれば良いね。
なるほど！２点 $(1,8),(-2,2)$ を通る直線の方程式を考えるんですね！
そうだね！じゃあ，その直線の傾きは？
$\displaystyle \frac{8-2}{1-(-2)}=\frac{6}{3}=2$ だから，傾きは２です。
ということで，一旦 $x=1$ のときに $y=0$ となるように，$y=2(x-1)$ として，実際には $x=1$ のときに $y=8$ だから，$y=2(x-1)+8$ つまり $y=2x+6$ となるね。
なるほど。他の方法として，傾きが２と分かっているから，一旦 $y=2x$ として，$x=1$ のときに $y=8$ になるように定数項を調整して，$y=2x+6$ としても良いですよね！
そうだね！実際そうやって暗算してる人も多いね。
ということで，２点 $(1,8),(-2,2)$ を通る２次関数は，$y=a(x-1)(x+2)+2x+6$ とおけるね。
なるほど。確かに $x=1$ のときには $y=8$ になって，$x=-2$ のときには $y=2$ になりますね。$2x+6$ が１次式だから，それを $y=a(x-1)(x+2)$ に加えても２次関数のままなんですね。
$a$ の値が変わっても，グラフは2点 $(1,5),(-2,5)$ を通る。
確認もバッチリだね。これで１文字だけで表せたんだけど，$a$ はどうやって求めるか分かるよね？
任せて下さい！$x=-3$ と $y=4$ を代入して，$a$ の方程式を解けば良いんですね！
そういうことだね。
でも，これって実際に解答を書くときはどんな風に書けば良いんですか？
次のように書いとけば良いよ。
これが点 $(-3,4)$ を通るから，
&4=a\cdot(-4)\cdot(-1) \\
&4=4a \\
&a=1
\end{align*}
&y=(x-1)(x+2)+2x+6 \\
&y=x^2+3x+4
\end{align*}
分かりました！これで連立方程式を解かなくて良くなりますね！
そうだね。
2次関数の式を求める方法のまとめ
２次関数を求める問題には，様々なタイプがあるけど，それぞれに応じて適切に２次関数を表せるようにしておこう！
- 軸 $x=p$ が与えられたとき
$y={\color{red}{a}}(x-p)^2+{\color{red}{q}}$ - 頂点 $(p,q)$ が与えられたとき
$y={\color{red}{a}}(x-p)^2+q$ - 通る２点 ${\mathrm A}(p,q), {\mathrm B}(r,s)$ が与えられたとき
$y={\color{red}{a}}(x-p)(x-r)+mx+n$
ただし，直線ABの方程式を $y=mx+n$ とする。
※赤文字が未知数となる。
