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3点を通る２次関数を簡単に求める方法
それでは，最初の問題を解いていこう。
はい，お願いします。
３点 (1,8),(−2,2),(−3,4) を通る２次関数を求めよ。
とりあえず，y=a(x−1)(x+2) を利用しよう。ただし，このままだと x=1, −2 のときに，y=0 となってしまうからダメだね。x=1 のときには y=8 になって，x=−2 のときには y=2 になってくれるような便利な式があれば良いね。
なるほど！２点 (1,8),(−2,2) を通る直線の方程式を考えるんですね！
そうだね！じゃあ，その直線の傾きは？
8−21−(−2)=63=2 だから，傾きは２です。
ということで，一旦 x=1 のときに y=0 となるように，y=2(x−1) として，実際には x=1 のときに y=8 だから，y=2(x−1)+8 つまり y=2x+6 となるね。
なるほど。他の方法として，傾きが２と分かっているから，一旦 y=2x として，x=1 のときに y=8 になるように定数項を調整して，y=2x+6 としても良いですよね！
そうだね！実際そうやって暗算してる人も多いね。
ということで，２点 (1,8),(−2,2) を通る２次関数は，y=a(x−1)(x+2)+2x+6 とおけるね。
なるほど。確かに x=1 のときには y=8 になって，x=−2 のときには y=2 になりますね。2x+6 が１次式だから，それを y=a(x−1)(x+2) に加えても２次関数のままなんですね。
a の値が変わっても，グラフは2点 (1,5),(−2,5) を通る。
確認もバッチリだね。これで１文字だけで表せたんだけど，a はどうやって求めるか分かるよね？
任せて下さい！x=−3 と y=4 を代入して，a の方程式を解けば良いんですね！
そういうことだね。
でも，これって実際に解答を書くときはどんな風に書けば良いんですか？
次のように書いとけば良いよ。
これが点 (−3,4) を通るから，
分かりました！これで連立方程式を解かなくて良くなりますね！
そうだね。
2次関数の式を求める方法のまとめ
２次関数を求める問題には，様々なタイプがあるけど，それぞれに応じて適切に２次関数を表せるようにしておこう！
- 軸 x=p が与えられたとき
y=a(x−p)2+q - 頂点 (p,q) が与えられたとき
y=a(x−p)2+q - 通る２点 A(p,q),B(r,s) が与えられたとき
y=a(x−p)(x−r)+mx+n
ただし，直線ABの方程式を y=mx+n とする。
※赤文字が未知数となる。
