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【数学IA】2次方程式の解き方

2次方程式の解き方数学IAIIB
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ここでは2次方程式を解く方法について説明します。

2次方程式の解法は大きく分けると次の2つの方法があります。

  • 因数分解
  • 解の公式

2次方程式を速く解くためには,与えられた方程式を見たときに,すぐに因数分解できるかどうかを素早く判断できるかどうかが重要になります。

たすきがけが必要な因数分解であれば,たすきがけのコツを知っていると高速化につながります。

たすきがけのコツについては次の記事が参考になります。

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2次方程式の解き方

ヒロ
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まずは因数分解できる2次方程式の解法を知ろう。

【因数分解による解法】
$x$ の2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が有理数 $\alpha,~\beta$ を用いて $a(x-\alpha)(x-\beta)=0$ と因数分解できるとき,$a\neq0$ であるから,等式が成り立つのは
\begin{align*}
x-\alpha=0~~または~~x-\beta=0
\end{align*}
よって,$x=\alpha$ または $x=\beta$
通常はカンマに「または」の意味をもたせて $x=\alpha,~\beta$ と書く。
また,$\alpha=\beta$ のときは「重解(じゅうかい)」となり,解が実質1つになる。
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次に解の公式による解法を知ろう。

【解の公式による解法】
$x$ の2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が有理数 $\alpha,~\beta$ を用いて $a(x-\alpha)(x-\beta)=0$ と因数分解できないときは「解の公式」を利用して解く。
\begin{align*}
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align*}
ヒロ
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解の公式を導出できるようにしておこう。

【解の公式の導出】
$ax^2+bx+c=0$ の左辺を平方完成すると
\begin{align*}
&a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c=0 \\[4pt]&a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}=0 \\[4pt]&\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2} \\[4pt]&x+\dfrac{b}{2a}=\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[4pt]&x=-\dfrac{b}{2a}\pm\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align*}
ヒロ
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$x$ の係数が偶数の場合,すなわち $ax^2+2bx+c=0$ となっている場合も説明しておく。

【$x$ の係数が偶数の場合】
2次方程式 $ax^2+2bx+c=0$ を解の公式を用いて解くと
\begin{align*}     x&=\dfrac{-2b\pm\sqrt{4b^2-4ac}}{2a} \\[4pt]     &=\dfrac{-2b\pm2\sqrt{b^2-ac}}{2a} \\[4pt]     &=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-ac}}{a} \end{align*}
ヒロ
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$x$ の係数が偶数のときの公式を覚えなくても良いという人もいるが,個人的には「解けるなら速くて楽な方が良い」という考え方が基本にあるため,$x$ が偶数のときの解の公式も是非覚えて欲しい。

2次方程式の練習問題

ヒロ
ヒロ

色々な2次方程式を解いて慣れよう。

問題次の2次方程式を解け。
(1) $x^2-4x+3=0$
(2) $2x^2+5x+2=0$
(3) $x^2-3x-2=0$
【(1)の考え方と解答】
まず,因数分解できるかどうかを考える。この問題では,足して $-4$,掛けて3になる2つの数を探すと $-1$ と $-3$ が見つかるから因数分解できると分かる。
\begin{align*}
&x^2-4x+3=0 \\[4pt]
&(x-1)(x-3)=0 \\[4pt]
&x=1,~3
\end{align*}

(2) $2x^2+5x+2=0$

【(2)の考え方と解答】
(1)と同様,因数分解できるかどうかを考える。たすきがけを考えると,2の隣には2がこないことを考えると
\begin{align*}
(x+2)(2x+1)=0
\end{align*}
と因数分解できる。よって,$x=-2,~-\dfrac{1}{2}$

(3) $x^2-3x-2=0$

【(3)の考え方と解答】
因数分解できるかどうかを考える。和が $-3$,積が $-2$ になる2つの数を探しても見つからないから,解の公式を利用する。
\begin{align*}
x=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2}
\end{align*}

2次方程式の練習問題2

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方程式の係数が分数や無理数になることもある。

問題次の2次方程式を解け。
(1) $-2x^2+11x-5=0$
(2) $3x^2-15\sqrt{3}x+54=0$
(3) $0.2x^2-0.5x-1.2=0$
(4) $\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{4}=0$
【(1)の考え方と解答】
$x^2$ の係数が負の場合は,両辺に $-1$ をかけて正にするのが基本である。
\begin{align*}
&2x^2-11x+5=0 \\[4pt]
&(2x-1)(x-5)=0 \\[4pt]
&x=\dfrac{1}{2},~5
\end{align*}

(2) $3x^2-15\sqrt{3}x+54=0$

【(2)の考え方と解答】
係数を見ると両辺を3で割った方がスッキリすることが分かる。
\begin{align*}
x^2-5\sqrt{3}x+18=0
\end{align*}
さらに $x$ の係数に $\sqrt{3}$ が含まれていて,定数項が3の倍数 $(=3\times6)$ だから,うまく因数分解できるのではないかと考える。
$a\sqrt{3}$ と $b\sqrt{3}$ の2数を考えると,$a+b=-5,~ab=6$ となる $a,~b$ を見つけることができれば因数分解できる。
実際に $a=2,~b=3$ が見つかるから
\begin{align*}
&(x-2\sqrt{3})(x-3\sqrt{3})=0 \\[4pt]
&x=2\sqrt{3},~3\sqrt{3}
\end{align*}

(3) $0.2x^2-0.5x-1.2=0$

【(3)の考え方と解答】
係数が小数の場合は両辺を何倍かして整数にするのが基本。今回の場合は10倍しよう。
\begin{align*}
2x^2-5x-12=0
\end{align*}
たすきがけを考えるときに,2の隣には偶数は来ないことを考えると1か3だから,3から考えると
\begin{align*}
(x-4)(2x+3)=0
\end{align*}
と因数分解できる。よって,$x=4,~-\dfrac{3}{2}$

(4) $\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{1}{4}x-\dfrac{3}{4}=0$

【(4)の考え方と解答】
係数が分数の場合は,分母の最小公倍数を両辺にかけて整数にするのが基本。今回の場合は12倍しよう。
\begin{align*}
&2x^2+3x-9=0 \\[4pt]
&(x+3)(2x-3)=0 \\[4pt]
&x=-3,~\dfrac{3}{2}
\end{align*}

2次方程式の練習問題3

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解くべき2次方程式はいつも一般形で書かれているとは限らない。

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様々な形がある。また,絶対値を含むものもある。

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どんな形で表されていても動揺することがないようにしよう。

問題次の2次方程式を解け。
(1) $(x+2)(x+3)=2$
(2) $2(x+1)^2=5$
(3) $x^2+2\abs{x}-3=0$
【(1)の考え方と解答】
これは展開して一般形に変形してから解こう。
\begin{align*}
&x^2+5x+4=0 \\[4pt]
&(x+1)(x+4)=0 \\[4pt]
&x=-1,~-4
\end{align*}

$x+2$ と $x+3$ が1違いの数($x+3$ の方が大きい)で,その2数の積が2だから,
\begin{align*}
&(x+2,~x+3)=(1,~2),~(-2,~-1) \\[4pt]
&x=1,~-4
\end{align*}
と解くこともできるがいつもうまくいくとは限らない。

(2) $2(x+1)^2=5$

【(2)の考え方と解答】
これを展開して一般形に戻す人がかなり多い。これはすでに平方完成されている形だから,絶対に展開してはいけない。$x+1$ を1つのカタマリと見れば簡単に解ける。分かりにくければ $x+1=t$ と置くと
\begin{align*}
2t^2=5
\end{align*}
となる。これを文字の置き換えをせずにスムーズに考えることができるようになれば良い感じだ。
\begin{align*}
&(x+1)^2=\dfrac{5}{2} \\[4pt]
&x+1=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \\[4pt]
&x=-1\pm\dfrac{\sqrt{10}}{2}
\end{align*}
もし,展開して一般形に変形すると
\begin{align*}
2x^2+4x-3=0
\end{align*}
となり,ここから解の公式を使うことになる。これは遠回りな解法である。
そもそも解の公式は平方完成することで導いているわけで,与えられた2次方程式が平方完成されているなら,そのまま進んだ方が速く,展開して元に戻すのは遠回りである。

(3) $x^2+2\abs{x}-3=0$

【(3)の考え方と解答】
みんなの大好きな,いや大嫌いな絶対値記号がある。
一般的には $x$ が0以上と0未満で場合分けをして解くのだろう。ここではそんな面倒な方法ではないスッキリした解法を紹介しておく。
$\abs{x}^2=x^2$ であることを利用して,$\abs{x}$ の2次方程式にして考えよう。
\begin{align*}
&\abs{x}^2+2\abs{x}-3=0 \\[4pt]
&(\abs{x}+3)(\abs{x}-1)=0
\end{align*}
$\abs{x}\geqq0$ より
\begin{align*}
&\abs{x}=1 \\[4pt]
&x=\pm1
\end{align*}

2次方程式の練習問題4

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最後は係数に文字を含むタイプの練習をしておこう。

問題$a$ を定数とするとき,次の方程式を解け。
(1) $a^2x+1=a(x+1)$
(2) $ax^2+(a^2-1)x-a=0$
ヒロ
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係数に文字がある方程式を解く問題では,ほとんど因数分解できると考えてよい。

【(1)の考え方と解答】
展開して一般形に変形して因数分解を考えよう。
\begin{align*}
&(a^2-a)x+1-a=0 \\[4pt]&a(a-1)x-(a-1)=0 \\[4pt]&(a-1)(ax-1)=0 \\[4pt]&a=1~~または~ax=1
\end{align*}
$a=1$ のとき,与えられた方程式は
\begin{align*}
1x^2+1=1(x+1)
\end{align*}
となるから,これを満たす $x$ は「すべての実数」である。
次に $a\neq1$ のときを考える。すなわち $ax=1$ となるときを考える。両辺を $a$ で割れば $x=$ の形にできるが,$a$ で割るためには $a$ が0以外の値でなければならない。したがって,$a$ が0か0でないかで場合分けをしよう。
$a\neq0$ のとき,$ax=1$ より $x=\dfrac{1}{a}$
$a=0$ のとき,$0x=1$ となり,これを満たす $x$ は存在しない。
以上より,
\begin{align*}
\begin{cases}
a=0~のとき,解なし \\[4pt]a=1~のとき,すべての実数 \\[4pt]a\neq0,~1~のとき,x=\dfrac{1}{a}
\end{cases}
\end{align*}

(2) $ax^2+(a^2-1)x-a=0$

【(2)の考え方と解答】
与えられた方程式の左辺を因数分解すると次のようになる。
\begin{align*}
&(x+a)(ax-1)=0 \\[4pt]&x+a=0~~または~ax-1=0
\end{align*}
$x+a=0$ のとき,$x=-a$
これは $a$ の値にかかわらず,与えられた方程式が常に $x=-a$ を1つの解としてもつということである。
次に $ax-1=0$ のときを考える。(1)と同じように $a$ が0か0でないかで場合分けをしよう。
$a\neq0$ のとき,$x=\dfrac{1}{a}$
$a=0$ のとき,$0x-1=0$ となり,これを満たす $x$ は存在しない。
したがって,方程式の解は次のようになる。
\begin{align*}
\begin{cases}
a\neq0~のとき,x=-a,~\dfrac{1}{a} \\[4pt]a=0~のとき,x=0
\end{cases}
\end{align*}
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