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【数学ⅡB】高次方程式の解法【東邦大・東北学院大・東京電機大・中部大・産業医科大】

高次方程式の解法数学IAIIB
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4次方程式の解法【東北学院大】

2018年 東北学院大4次方程式 $x^4+3x^3+3x^2-x-6=0$ の解のうち,実数解は $x=\myhako$ である。
【考え方と解答】
因数定理を利用して因数分解しよう。与えられた方程式の左辺を $f(x)$ とおくと
\begin{align*}
&f(1)=1+3+3-1-6=0 \\[4pt]
&f(-2)=16-24+12+2-6=0
\end{align*}
となるから,$f(x)$ は $(x-1)(x+2)=x^2+x-2$ で割り切れる。よって
\begin{align*}
f(x)&=(x^2+x-2)(x^2+2x+3) \\[4pt]
&=(x-1)(x+2)(x^2+2x+3)
\end{align*}
よって,$f(x)=0$ の解は $x=1,~-2,~-1\pm\sqrt{2}i$ であるから,$f(x)=0$ の実数解は $=1,~-2$ である。
ヒロ
ヒロ

今回は $x-1$ と $x+2$ が因数であることを考えて,まとめて割り算を行ったが,1つずつ割り算を行っても良い。

3次式の決定と3次方程式【東京電機大】

2015年 東京電機大3次式 $f(x)$ は $x^3$ の係数が1であり,しかも $f(1)=f(2)=f(6)=12$ をみたしている。方程式 $f(x)=0$ を解け。

プリントを次のリンクからダウンロードできます。
【考え方と解答】
3次式 $f(x)$ の最高次以外の係数が分からないからと言って,
\begin{align*}
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
\end{align*}
とおくのは大変なので,与えられている条件をしっかり考えよう。$f(1)=f(2)=f(6)=12$ が成り立つのだから,$x$ に1, 2, 6を代入したときに0になるような3次式を考えて,それに12を加えれば,条件を満たす3次式が得られる。つまり
\begin{align*}
f(x)=(x-1)(x-2)(x-6)+12
\end{align*}
であることが分かる。$f(x)=0$ を解いていく。
\begin{align*}
&(x-1)(x-2)(x-6)+12=0 \\[4pt]&x^3-9x^2+20x=0 \\[4pt]&x(x^2-9x+20)=0 \\[4pt]&x(x-4)(x-5)=0 \\[4pt]&x=0,~4,~5
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

この問題で $f(x)$ を求めるときに使った考え方は非常に重要である。

ヒロ
ヒロ

この考え方をマスターすることで,3点を通る二次関数や3点を通る円の方程式を求めるときに連立方程式を立てて解く必要もなくなる。

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