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最高位の数字
ヒロ
上の例で分かったことを一般化しよう。
最高位の数字ある数 $a$ の常用対数 $\log_{10}a$ の整数部分から桁数が分かり，小数部分から実際の数字の並びが分かる。$a$ の整数部分が $n$ 桁であるとすると，$a\times10^{-(n-1)}$ は整数部分が1桁の数となる。このとき，$\log_{10}a-(n-1)$ が1未満の正の数となるから
\begin{align*}
\log_{10}m<\log_{10}a-(n-1)<\log_{10}(m+1)
\end{align*}
を満たす $m$ を見付けることができれば\log_{10}m<\log_{10}a-(n-1)<\log_{10}(m+1)
\end{align*}
\begin{align*}
&m<a\times10^{-(n-1)}<m+1 \\[4pt]
&m\times10^{n-1}<a<(m+1)\times10^{n-1}
\end{align*}
となるから $a$ は最高位の数字は $m$ の $n$ 桁の数であることが分かる。&m<a\times10^{-(n-1)}<m+1 \\[4pt]
&m\times10^{n-1}<a<(m+1)\times10^{n-1}
\end{align*}
ヒロ
問題を解くときに苦労するのは，$m$ を見付ける部分だろう。
ヒロ
2から9までの常用対数の値をすぐに求められるようにしておくと良い。
2020年 青山学院大
2020年 青山学院大自然数 $N$ を7進法で表すと，100桁の数 $500\cdots00_{(7)}$（5のあとはすべて0）になるという。このとき，$N$ を10進法で表すと，$\myhako$ 桁の数になり，最高位の数字は $\myhako$ である。ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$ とする。
ヒロ
7進法を10進法に変換する方法を忘れた人は，次の記事を参考にしよう。
【考え方と解答】
$N$ を10進法で表すと $N=5\Cdota7^{99}$ となるから
$N$ を10進法で表すと $N=5\Cdota7^{99}$ となるから
\begin{align*}
\log_{10}N&=\log_{10}(5\Cdota7^{99}) \\[4pt]
&=\log_{10}5+99\log_{10}7
\end{align*}
ここで $\log_{10}2=0.3010$ より\log_{10}N&=\log_{10}(5\Cdota7^{99}) \\[4pt]
&=\log_{10}5+99\log_{10}7
\end{align*}
\begin{align*}
\log_{10}5=1-\log_{10}2=0.6990
\end{align*}
であるから\log_{10}5=1-\log_{10}2=0.6990
\end{align*}
\begin{align*}
\log_{10}N&=0.6090+99\times0.8451 \\[4pt]
&=84.3639
\end{align*}
となる。ここで\log_{10}N&=0.6090+99\times0.8451 \\[4pt]
&=84.3639
\end{align*}
\begin{align*}
\log_{10}2<0.3639<\log_{10}3
\end{align*}
であるから\log_{10}2<0.3639<\log_{10}3
\end{align*}
\begin{align*}
&2<10^{0.3639}<3 \\[4pt]
&2\times10^{84}<10^{84.3639}<3\times10^{84} \\[4pt]
&2\times10^{84}<N<3\times10^{84}
\end{align*}
したがって，$N$ を10進法で表すと，85桁の数になり，最高位の数字は2である。&2<10^{0.3639}<3 \\[4pt]
&2\times10^{84}<10^{84.3639}<3\times10^{84} \\[4pt]
&2\times10^{84}<N<3\times10^{84}
\end{align*}