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小数首位の数字を求める方法
ヒロ
それでは，次は小数首位の数字を求める方法を説明する。
ヒロ
具体例を通して理解しよう。
【小数首位の数字】
例えば，$\log_{10}a=-2.5850$ となる $a$ の小数首位とその数字を考える。指数表示に変形すると
\begin{align*}
a=10^{-2.5850}=10^{0.415}\times10^{-3}
\end{align*}
となる。$1<10^{0.415}<10$ であるから，$a$ の小数首位は第3位であることが分かる。さらに $10^{-3}$ には小数点の位置を決めるだけで，数字の並びは $10^{0.415}$ の部分が表していることも分かる。a=10^{-2.5850}=10^{0.415}\times10^{-3}
\end{align*}
ここで $\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$ であることを利用すると
\begin{align*}
&\log_{10}2<0.415<\log_{10}3 \\[4pt]
&2<10^{0.415}<3
\end{align*}
となり，$a$ は小数首位は第3位でその数字は2であることが分かる。&\log_{10}2<0.415<\log_{10}3 \\[4pt]
&2<10^{0.415}<3
\end{align*}
小数首位の数字
ヒロ
小数首位の数字について，一般化しよう。
小数首位の数字ある数 $a$ の小数首位が第 $n$ 位であるとすると，$a\times10^n$ は整数部分が1桁の小数となる。このとき，$\log_{10}a+n$ は10未満の正の数となるから
\begin{align*}
\log_{10}m<\log_{10}a+n<\log_{10}(m+1)
\end{align*}
を満たす $m$ を見付けることができれば\log_{10}m<\log_{10}a+n<\log_{10}(m+1)
\end{align*}
\begin{align*}
&m<a\times10^n<m+1 \\[4pt]
&m\times10^{-n}<a<(m+1)\times10^{-n}
\end{align*}
となるから $a$ の小数首位が第 $n$ 位で，その数字は $m$ であることが分かる。&m<a\times10^n<m+1 \\[4pt]
&m\times10^{-n}<a<(m+1)\times10^{-n}
\end{align*}
2020年 摂南大
2020年 摂南大$\left(\dfrac{1}{7}\right)^{50}$ を小数であらわすとき，初めて現れる0でない数字は小数第 $\myhako$ 位の $\myhako$ である。必要なら，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$ としてよい。
【考え方と解答】
$a=\left(\dfrac{1}{7}\right)^{50}$ とおくと
$a=\left(\dfrac{1}{7}\right)^{50}$ とおくと
\begin{align*}
\log_{10}a&=\log_{10}\left(\dfrac{1}{7}\right)^{50} \\[4pt]
&=-50\log_{10}7 \\[4pt]
&=-50\times0.8451 \\[4pt]
&=-42.255
\end{align*}
よって\log_{10}a&=\log_{10}\left(\dfrac{1}{7}\right)^{50} \\[4pt]
&=-50\log_{10}7 \\[4pt]
&=-50\times0.8451 \\[4pt]
&=-42.255
\end{align*}
\begin{align*}
a&=10^{-42.255} \\[4pt]
&=10^{0.745}\times10^{-43}
\end{align*}
ここでa&=10^{-42.255} \\[4pt]
&=10^{0.745}\times10^{-43}
\end{align*}
\begin{align*}
\log_{10}6&=\log_{10}2+\log_{10}3 \\[4pt]
&=0.3010+0.4771 \\[4pt]
&=0.7781 \\[4pt]
\log_{10}5&=1-\log_{10}2 \\[4pt]
&=1-0.3010 \\[4pt]
&=0.6990
\end{align*}
であるから\log_{10}6&=\log_{10}2+\log_{10}3 \\[4pt]
&=0.3010+0.4771 \\[4pt]
&=0.7781 \\[4pt]
\log_{10}5&=1-\log_{10}2 \\[4pt]
&=1-0.3010 \\[4pt]
&=0.6990
\end{align*}
\begin{align*}
&\log_{10}5<0.745<\log_{10}6 \\[4pt]
&5<10^{0.745}<6 \\[4pt]
&5\times10^{-43}<10^{0.745}\times10^{-43}<6\times10^{-43} \\[4pt]
&5\times10^{-43}<a<6\times10^{-43}
\end{align*}
したがって，$a$ を小数であらわすとき，初めて現れる0でない数字は小数第43位の5である。&\log_{10}5<0.745<\log_{10}6 \\[4pt]
&5<10^{0.745}<6 \\[4pt]
&5\times10^{-43}<10^{0.745}\times10^{-43}<6\times10^{-43} \\[4pt]
&5\times10^{-43}<a<6\times10^{-43}
\end{align*}