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円を境界線とする領域
ヒロ
円 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ を $C$ とする。
円を境界線とする領域
- 不等式 $(x-a)^2+(y-b)^2>r^2$ の表す領域は，円 $C$ の外部である。ただし，境界を含まない。
- 不等式 $(x-a)^2+(y-b)^2<r^2$ の表す領域は，円 $C$ の内部である。ただし，境界を含まない。
不等式の表す領域とは
ヒロ
「領域」とはどのようなものかを理解しておこう。
不等式の表す領域不等式をみたす点全体の集合を，その不等式の表す領域という。
ヒロ
例として「$y>\dfrac{1}{2}x+1$ の表す領域」を考える。
【$y>\dfrac{1}{2}x+1~\cdots\cdots(*)$ の表す領域】
$y=\dfrac{1}{2}x+1$ は傾き $\dfrac{1}{2}$，切片1の直線 $l$ を表すから，ある点の座標が $y=\dfrac{1}{2}x+1$ をみたすとき，その点は直線 $l$ 上にある。例えば，点 $(2,~2)$ は $2=\dfrac{1}{2}\Cdot2+1$ となるから，直線 $l$ 上にある。
点 $(2,~2)$ と $x$ 座標が等しく $y$ 座標が大きい点 $(2,~3)$ は，$3>\dfrac{1}{2}\Cdot2+1$ が成り立つから，点 $(2,~3)$ は不等式(＊)を満たす点である。
$x$ 座標を2に固定して考えると，$y$ 座標が2より大きい点は，すべて不等式(＊)をみたすことが分かる。
$x$ 座標を動かすことで，不等式 $y>\dfrac{1}{2}x+1$ が表す領域は直線 $y=\dfrac{1}{2}x+1$ の上側（境界を含まない）であることが分かる。図示すると，下図の斜線部分となる。
ヒロ
境界を含まないときに，斜線を境界線に付けないように描いているものもあるが，本ブログでは，常に斜線を境界線に付けて描く。