Contents
- ページ1
- 1 有限小数と循環小数
- ページ2
- 1 循環小数の表し方
- ページ3
- 1 有限小数となる条件
- ページ4
- 1 循環小数を分数で表す方法
有限小数となる条件
ヒロ
分数を小数で表したときに，有限小数となるときと循環小数になるときがあるが，割り算をする前にどちらになるかを判別する方法を身に付けよう。
ヒロ
ここで扱う分数は既約分数とする。
既約分数とは分子と分母が整数で，分母と分子が互いに素である分数を既約分数という。
ヒロ
既約分数を小数で表したときに有限小数となる条件は次のようになる。
有限小数となる条件整数でない既約分数 $\dfrac{m}{n}$ の分母 $n$ の素因数が2と5だけからなる場合，$\dfrac{m}{n}$ を小数で表すと有限小数となる。
ヒロ
これは2と5が10の約数であるからだね。
【10をかけることと10で割ること】
当たり前のことであるが，10をかけることは「小数点を右に1桁ずらす」と捉えることができる。また，10で割ることは「小数点を左に1桁ずらす」と捉えることができる。
当たり前のことであるが，10をかけることは「小数点を右に1桁ずらす」と捉えることができる。また，10で割ることは「小数点を左に1桁ずらす」と捉えることができる。
ヒロ
それでは有限小数となる理由を説明する。
【有限小数となる理由】
例えば $\dfrac{13}{5}$ を小数で表すことを考える。$13\div5$ を計算することになるが，割り算を1ステップずつ考えていくことにする。
$13\div5$ を一の位までで考えると，商が2で余りが3となる。小数点以下を考えると，$2\div5$ を考えることになる。考え方として「2を10倍して，5で割った後で10で割る」としても結果は同じ。2を10倍すると20になるから，商は4となり，5で割り切れる。つまり，$2\div5=0.4$ となる。したがって，$13\div5=2.4$ となって有限小数となる。
分子がどのような数であっても，分母の素因数が2と5だけからなる場合は，最終的には10の倍数が割られる数になるから，割り切れて割り算が終了する。
例えば $\dfrac{13}{5}$ を小数で表すことを考える。$13\div5$ を計算することになるが，割り算を1ステップずつ考えていくことにする。
$13\div5$ を一の位までで考えると，商が2で余りが3となる。小数点以下を考えると，$2\div5$ を考えることになる。考え方として「2を10倍して，5で割った後で10で割る」としても結果は同じ。2を10倍すると20になるから，商は4となり，5で割り切れる。つまり，$2\div5=0.4$ となる。したがって，$13\div5=2.4$ となって有限小数となる。
分子がどのような数であっても，分母の素因数が2と5だけからなる場合は，最終的には10の倍数が割られる数になるから，割り切れて割り算が終了する。
ヒロ
既約分数を小数で表したときに有限小数にならなければ，必ず循環小数になる。