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【動画解説付き】部分分数分解を速くする方法とは?【暗算・裏ワザ】

部分分数分解を速くする方法とは?数学III
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部分分数分解の練習

(2) $\dint{}{}\dfrac{x+1}{x(x+2)(x+3)}\;dx$

プリントを次のリンクからダウンロードできます。

じゃあ (2) を解いてみます。

【部分分数分解のメモ】

部分分数分解 a,b,cの値

【 (2) の解答】
\begin{align*}
&\int\frac{x+1}{x(x+2)(x+3)}\,dx=\int\left(\frac{\frac{1}{6}}{x}+\frac{\frac{1}{2}}{x+2}
+\frac{-\frac{2}{3}}{x+3}\right)dx \\[4pt]
&=\frac{1}{6}\log|x|+\frac{1}{2}\log|x+2|-\frac{2}{3}\log|x+3|+C
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

慣れれば手で隠して,簡単に部分分数分解できるようになるよ!

頑張ります!

2乗の因数を含む分数式の部分分数分解を簡単にする方法

プリントを次のリンクからダウンロードできます。

(3) $\dint{}{}\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}\;dx$

(3) のような場合はどうやって簡単にするんですか?

ヒロ
ヒロ

まずは係数を文字で置いておこうか。

\begin{align*}
\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}+\frac{c}{(x+2)^2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$\displaystyle\frac{b}{x+2}$ の項が必要なことに注意しよう。

ヒロ
ヒロ

$a$ と $c$ はさっきと同じようにして簡単に求めることができるよ。

部分分数分解 a,cの値

おお!あとは $b$ ですね!

ヒロ
ヒロ

残りの $b$ を求める方法は色々あるんだけど,ここでは $x$ に適当な値を代入する方法を紹介しておくね。

\begin{align*}
\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{\frac{1}{3}}{x-1}+\frac{b}{x+2}+\frac{-1}{(x+2)^2}
\end{align*}
ここで,$x=0$ とすると,
\begin{align*}
&\frac{3}{(-1)\cdot4}=-\frac{1}{3}+\frac{b}{2}-\frac{1}{4} \\[4pt]
&-\frac{3}{2}=-\frac{2}{3}+b-\frac{1}{2} \\[4pt]
&b=\frac{-9+4+3}{6}=-\frac{1}{3}
\end{align*}

なるほど!残りが1文字だから $x$ に適当な値を入れれば良いんですね!

ヒロ
ヒロ

今回なら $-2$ 以外の値を代入すればいいね。0を代入できるときは0を入れるのが楽だね。あとの積分はやっといてくれるかな?

任せて下さい。

\begin{align*}
&\int\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}\;dx=\int\left\{\frac{\frac{1}{3}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{3}}{x+2}+\frac{-1}{(x+2)^2}\right\}\;dx \\[4pt]
&=\frac{1}{3}\log|x-1|-\frac{1}{3}\log|x+2|+\frac{1}{x+2}+C \\[4pt]
&=\frac{1}{3}\log\left|\frac{x-1}{x+2}\right|+\frac{1}{x+2}+C
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

よし!大丈夫だね!

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