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部分分数分解の練習
(2) $\dint{}{}\dfrac{x+1}{x(x+2)(x+3)}\;dx$
プリントを次のリンクからダウンロードできます。
じゃあ (2) を解いてみます。
【部分分数分解のメモ】
【 (2) の解答】
\begin{align*}
&\int\frac{x+1}{x(x+2)(x+3)}\,dx=\int\left(\frac{\frac{1}{6}}{x}+\frac{\frac{1}{2}}{x+2}
+\frac{-\frac{2}{3}}{x+3}\right)dx \\[4pt]
&=\frac{1}{6}\log|x|+\frac{1}{2}\log|x+2|-\frac{2}{3}\log|x+3|+C
\end{align*}
&\int\frac{x+1}{x(x+2)(x+3)}\,dx=\int\left(\frac{\frac{1}{6}}{x}+\frac{\frac{1}{2}}{x+2}
+\frac{-\frac{2}{3}}{x+3}\right)dx \\[4pt]
&=\frac{1}{6}\log|x|+\frac{1}{2}\log|x+2|-\frac{2}{3}\log|x+3|+C
\end{align*}
ヒロ
慣れれば手で隠して，簡単に部分分数分解できるようになるよ！
頑張ります！
２乗の因数を含む分数式の部分分数分解を簡単にする方法
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(3) $\dint{}{}\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}\;dx$
(3) のような場合はどうやって簡単にするんですか？
ヒロ
まずは係数を文字で置いておこうか。
\begin{align*}
\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}+\frac{c}{(x+2)^2}
\end{align*}
\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}+\frac{c}{(x+2)^2}
\end{align*}
ヒロ
$\displaystyle\frac{b}{x+2}$ の項が必要なことに注意しよう。
ヒロ
$a$ と $c$ はさっきと同じようにして簡単に求めることができるよ。
おお！あとは $b$ ですね！
ヒロ
残りの $b$ を求める方法は色々あるんだけど，ここでは $x$ に適当な値を代入する方法を紹介しておくね。
\begin{align*}
\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{\frac{1}{3}}{x-1}+\frac{b}{x+2}+\frac{-1}{(x+2)^2}
\end{align*}
ここで，$x=0$ とすると，\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}=\frac{\frac{1}{3}}{x-1}+\frac{b}{x+2}+\frac{-1}{(x+2)^2}
\end{align*}
\begin{align*}
&\frac{3}{(-1)\cdot4}=-\frac{1}{3}+\frac{b}{2}-\frac{1}{4} \\[4pt]
&-\frac{3}{2}=-\frac{2}{3}+b-\frac{1}{2} \\[4pt]
&b=\frac{-9+4+3}{6}=-\frac{1}{3}
\end{align*}
&\frac{3}{(-1)\cdot4}=-\frac{1}{3}+\frac{b}{2}-\frac{1}{4} \\[4pt]
&-\frac{3}{2}=-\frac{2}{3}+b-\frac{1}{2} \\[4pt]
&b=\frac{-9+4+3}{6}=-\frac{1}{3}
\end{align*}
なるほど！残りが１文字だから $x$ に適当な値を入れれば良いんですね！
ヒロ
今回なら $-2$ 以外の値を代入すればいいね。０を代入できるときは０を入れるのが楽だね。あとの積分はやっといてくれるかな？
任せて下さい。
\begin{align*}
&\int\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}\;dx=\int\left\{\frac{\frac{1}{3}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{3}}{x+2}+\frac{-1}{(x+2)^2}\right\}\;dx \\[4pt]
&=\frac{1}{3}\log|x-1|-\frac{1}{3}\log|x+2|+\frac{1}{x+2}+C \\[4pt]
&=\frac{1}{3}\log\left|\frac{x-1}{x+2}\right|+\frac{1}{x+2}+C
\end{align*}
&\int\frac{3}{(x-1)(x+2)^2}\;dx=\int\left\{\frac{\frac{1}{3}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{3}}{x+2}+\frac{-1}{(x+2)^2}\right\}\;dx \\[4pt]
&=\frac{1}{3}\log|x-1|-\frac{1}{3}\log|x+2|+\frac{1}{x+2}+C \\[4pt]
&=\frac{1}{3}\log\left|\frac{x-1}{x+2}\right|+\frac{1}{x+2}+C
\end{align*}
ヒロ
よし！大丈夫だね！