ここでは，指数と累乗根の性質に関する問題について説明します。
大学入試では様々な問題が出題されますが，普段当たり前のように使っている性質であっても，いざ「その性質が成り立つことを証明せよ」と言われると困るかもしれません。
「たった1問」と言いたくなりますが，入試で差がつくのは，難問ではなく比較的簡単な問題である場合が多いです。
基礎～標準レベルの問題を解けるようにすることが大切です。
Contents
2020年 尾道市立大
2020年 尾道市立大次の問いに答えなさい。ただし，(1)～(4)は答えのみを書きなさい。
(1) 16の平方根を答えなさい。
(2) $\sqrt{16}$ を整数で答えなさい。
(3) $a>0$ とする。$a$ の平方根のうち正であるものを，根号を用いて表しなさい。
(4) $b<0$ のとき，$\sqrt{b^2}$ を根号，指数表記，絶対値記号を用いない形で表しなさい。
(5) $x>0,~y>0$ とする。平方根の定義にもとづいて $\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ が成り立つことを証明しなさい。
(1) 16の平方根を答えなさい。
(2) $\sqrt{16}$ を整数で答えなさい。
(3) $a>0$ とする。$a$ の平方根のうち正であるものを，根号を用いて表しなさい。
(4) $b<0$ のとき，$\sqrt{b^2}$ を根号，指数表記，絶対値記号を用いない形で表しなさい。
(5) $x>0,~y>0$ とする。平方根の定義にもとづいて $\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ が成り立つことを証明しなさい。
ヒロ
(1)～(4)については，速答できるようにしよう。
【(1)～(4)の考え方と解答】
(1) 2乗すると16になる数は，正と負の2つあることに注意しよう。答えは $\pm4$ である。
(2) $\sqrt{16}$ は16の平方根のうち正の数であるから，$\sqrt{16}=4$
(3) $a$ の平方根のうち正であるものは，$\sqrt{a}$ である。
(4) 符号に注意しよう。
(1) 2乗すると16になる数は，正と負の2つあることに注意しよう。答えは $\pm4$ である。
(2) $\sqrt{16}$ は16の平方根のうち正の数であるから，$\sqrt{16}=4$
(3) $a$ の平方根のうち正であるものは，$\sqrt{a}$ である。
(4) 符号に注意しよう。
\begin{align*}
\sqrt{b^2}=\abs{b}=-b
\end{align*}
\sqrt{b^2}=\abs{b}=-b
\end{align*}
(5) $x>0,~y>0$ とする。平方根の定義にもとづいて $\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ が成り立つことを証明しなさい。
【(5)の考え方と解答】
平方根の定義より $\sqrt{x}=a,~\sqrt{y}=b,~\sqrt{xy}=c$ とおくと
平方根の定義より $\sqrt{x}=a,~\sqrt{y}=b,~\sqrt{xy}=c$ とおくと
\begin{align*}
&a^2=x ~\cdots\cdots① \\[4pt]
&b^2=y ~\cdots\cdots② \\[4pt]
&c^2=xy ~\cdots\cdots③
\end{align*}
が成り立つ。$①\times②=③$ より&a^2=x ~\cdots\cdots① \\[4pt]
&b^2=y ~\cdots\cdots② \\[4pt]
&c^2=xy ~\cdots\cdots③
\end{align*}
\begin{align*}
&a^2b^2=c^2 \\[4pt]
&(ab+c)(ab-c)=0
\end{align*}
$ab+c>0$ であるから&a^2b^2=c^2 \\[4pt]
&(ab+c)(ab-c)=0
\end{align*}
\begin{align*}
&ab-c=0 \\[4pt]
&\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}
\end{align*}
&ab-c=0 \\[4pt]
&\sqrt{x}\sqrt{y}=\sqrt{xy}
\end{align*}