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y軸に接する円【千葉工業大】
2013年 千葉工業大中心が $(-2,~3)$ で，$y$ 軸に接する円の方程式は
\begin{align*}
x^2+y^2+\myhako\,x-\myhako\,y+\myhako=0
\end{align*}
である。x^2+y^2+\myhako\,x-\myhako\,y+\myhako=0
\end{align*}
【考え方と解答】
中心が $(-2,~3)$ で，$y$ 軸に接する円の半径は2であるから，その方程式は
中心が $(-2,~3)$ で，$y$ 軸に接する円の半径は2であるから，その方程式は
\begin{align*}
&(x+2)^2+(y-3)^2=4 \\[4pt]
&x^2+y^2+4x-6y+9=0
\end{align*}
&(x+2)^2+(y-3)^2=4 \\[4pt]
&x^2+y^2+4x-6y+9=0
\end{align*}
x軸に接する円【神奈川大】
2014年 神奈川大円 $x^2+y^2+ax+by+c=0$ が $x$ 軸の正の部分と接し，$y$ 軸とは2点 $(0,~2)$ と $(0,~4)$ で交わる。このとき，$a=\myhako$，$b=\myhako$ である。
【考え方と解答】
求める円は $x$ 軸の正の部分と接し，$y$ 軸の $y\geqq0$ の部分で交わるから，円の中心は第1象限にあることが分かる。
したがって，求める円の方程式は
このとき
求める円は $x$ 軸の正の部分と接し，$y$ 軸の $y\geqq0$ の部分で交わるから，円の中心は第1象限にあることが分かる。
したがって，求める円の方程式は
\begin{align*}
(x-p)^2+(y-q)^2=q^2~(p>0,~q>0)
\end{align*}
と表せる。この円が2点 $(0,~2)$，$(0,~4)$ を通るから(x-p)^2+(y-q)^2=q^2~(p>0,~q>0)
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
p^2+(2-q)^2=q^2 &\cdots\cdots① \\[4pt]p^2+(4-q)^2=q^2 &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
$②-①$ より\begin{cases}
p^2+(2-q)^2=q^2 &\cdots\cdots① \\[4pt]p^2+(4-q)^2=q^2 &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
&2(6-2q)=0 \\[4pt]&q=3
\end{align*}
①より&2(6-2q)=0 \\[4pt]&q=3
\end{align*}
\begin{align*}
&p^2+1=9 \\[4pt]&p=\pm2\sqrt{2}
\end{align*}
$p>0$ より，$p=2\sqrt{2}$&p^2+1=9 \\[4pt]&p=\pm2\sqrt{2}
\end{align*}
このとき
\begin{align*}
&(x-2\sqrt{2})^2+(y-3)^2=9 \\[4pt]&x^2+y^2-4\sqrt{2}x-6y+8=0
\end{align*}
よって，$a=-4\sqrt{2}$，$b=-6$&(x-2\sqrt{2})^2+(y-3)^2=9 \\[4pt]&x^2+y^2-4\sqrt{2}x-6y+8=0
\end{align*}
ヒロ
$c$ の値を聞かれていないのが少し気になる。
ヒロ
この問題では次のような別解を考えることができる。
【別の考え方と解答】
この問題で与えられている $y$ 軸と交わる点と円の対称性を考えることで，円の中心の $y$ 座標は3であることが分かる。
これにより，求める円の半径も3であることが分かるから，その方程式は
これ以降は，上と同じなので省略する。
この問題で与えられている $y$ 軸と交わる点と円の対称性を考えることで，円の中心の $y$ 座標は3であることが分かる。
これにより，求める円の半径も3であることが分かるから，その方程式は
\begin{align*}
&(x-p)^2+(y-3)^2=9~(p>0)
\end{align*}
と表せる。この円が点 $(0,~2)$ を通るときを考えて&(x-p)^2+(y-3)^2=9~(p>0)
\end{align*}
\begin{align*}
&p^2+1=9 \\[4pt]&p^2=8 \\[4pt]&p=\pm2\sqrt{2}
\end{align*}
$p>0$ より，$p=2\sqrt{2}$&p^2+1=9 \\[4pt]&p^2=8 \\[4pt]&p=\pm2\sqrt{2}
\end{align*}
これ以降は，上と同じなので省略する。
両座標軸に接する円【北海道工業大】
2009年 北海道工業大$x$ 軸と $y$ 軸に接し，かつ点 $(4,~2)$ を通る円は2つある。このうち小さい円の半径は $\myhako$，大きい円の半径は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
通る点として与えられた点が第1象限の点であるから，求める円の方程式は
通る点として与えられた点が第1象限の点であるから，求める円の方程式は
\begin{align*}
(x-a)^2+(y-a)^2=a^2
\end{align*}
と表せる。この円が点 $(4,~2)$ を通るとき(x-a)^2+(y-a)^2=a^2
\end{align*}
\begin{align*}
&(4-a)^2+(2-a)^2=a^2 \\[4pt]&a^2-12a+20=0 \\[4pt]&(a-2)(a-10)=0 \\[4pt]&a=2,~10
\end{align*}
よって，小さい円の半径は2，大きい円の半径は10である。&(4-a)^2+(2-a)^2=a^2 \\[4pt]&a^2-12a+20=0 \\[4pt]&(a-2)(a-10)=0 \\[4pt]&a=2,~10
\end{align*}