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楕円(焦点・媒介変数表示・極方程式・接線・面積)【大阪教育大】

楕円(焦点・媒介変数表示・極方程式・接線・面積)数学III

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楕円に関する入試問題【2018年 大阪教育大】

2018年 大阪教育大$\alpha$ を複素数,$r$ を正の数とする。ただし,$\abs{\alpha}\neq r$ とする。複素数平面上で
\begin{align*}
\abs{z-\alpha}+\abs{z+\alpha}=2r
\end{align*}
を満たす点 $z$ を考える。
(1) 等式を満たす点 $z$ が存在するための条件を $\alpha,~r$ を用いて表せ。そのとき,どのような図形を表すか。
(2) (1)の条件を満たすとき,等式を満たす点 $z$ の絶対値の最大値と最小値を求めよ。
(3) 等式を満たす点 $z$ の全体が表す図形で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。
ヒロ
ヒロ

与えられた等式を見て,すぐに楕円を描くということに気付けるようにしよう。

【(1)の解答】
複素数平面上の3点P, A, Bを $\mathrm{P}(z)$, $\mathrm{A}(\alpha)$, $\mathrm{B}(-\alpha)$ とすると,
\begin{align*}
\abs{z-\alpha}+\abs{z+\alpha}=\mathrm{PA}+\mathrm{PB}
\end{align*}
となり,点Pの位置を変えることで $\mathrm{PA}+\mathrm{PB}$ をいくらでも大きくすることができる。また三角不等式より
\begin{align*}
\mathrm{PA}+\mathrm{PB}\geqq\mathrm{AB}=2\abs{\alpha}
\end{align*}
が成り立つから,
\begin{align*}
\abs{z-\alpha}+\abs{z+\alpha}=2r
\end{align*}
を満たす点 $z$ が存在するための条件は
\begin{align*}
&2r\geqq2\abs{\alpha} \\[4pt]
&r\geqq\abs{\alpha}
\end{align*}
を満たすことである。ここで $\abs{\alpha}\neq r$ であるから,求める条件は
\begin{align*}
r>\abs{\alpha}
\end{align*}
である。このとき,点 $z$ は2点 $\alpha,~-\alpha$ を焦点とする長軸の長さが $2r$ の楕円を描く。
ヒロ
ヒロ

楕円の長軸と短軸の交点が原点であることと,$\abs{z}$ は原点から点 $z$ までの距離であることが分かっていれば簡単だね。

【(2)の解答】
点 $z$ が描く楕円の長半径は $r$ であり,短半径は $\sqrt{r^2-\abs{\alpha}^2}$ である。よって,$\abs{z}$ の最大値は $r$,最小値は $\sqrt{r^2-\abs{\alpha}^2}$ である。
2018年 大阪教育大 楕円
ヒロ
ヒロ

(3)は楕円の面積公式でサクッと求めよう。

【(3)の解答】
\begin{align*}
S&=\pi r\sqrt{r^2-\abs{\alpha}^2}
\end{align*}

楕円の性質についてのまとめ

ヒロ
ヒロ

楕円の性質についてまとめると次のようになる。

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$
  1. グラフ
    楕円のグラフと焦点
    楕円のグラフと焦点
  2. 焦点の座標
    $0<b<a$ のとき
    \begin{align*}
    \mathrm{F}(\sqrt{a^2-b^2},~0),~\mathrm{F}'(-\sqrt{a^2-b^2},~0)
    \end{align*}
    $0<a<b$ のとき
    \begin{align*}
    \mathrm{F}(0,~\sqrt{b^2-a^2}),~\mathrm{F}'(0,~-\sqrt{b^2-a^2})
    \end{align*}
  3. 極方程式
    \begin{align*}
    r=\dfrac{l}{1+\varepsilon \cos\theta}
    \end{align*}
    ここで $\varepsilon$ と $l$ はそれぞれ離心率,半直弦と呼ばれる定数であり,
    \begin{align*}
    &0<b<a~のとき,\varepsilon=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a},~l=\dfrac{b^2}{a} \\[4pt]
    &0<a<b~のとき,\varepsilon=\dfrac{\sqrt{b^2-a^2}}{a},~l=\dfrac{a^2}{b}
    \end{align*}
    で定められる。
  4. 媒介変数表示
    \begin{align*}
    x=a\cos\theta,~~y=b\sin\theta
    \end{align*}
  5. 接線の方程式
    \begin{align*}
    \dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1
    \end{align*}
  6. 面積 $S$
    \begin{align*}
    S=\pi ab
    \end{align*}
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