【数学ⅡB】条件付きの3次式の最大値と最小値【東京理科大・愛知学院大】

条件がある場合の3次式の最大値と最小値に関する問題を解説します。

与えられた条件をうまく利用することが重要です。

問題によっては，3次関数の知識だけでなく，解と係数の関係など，様々な単元の知識が必要になることもあるため，「もう大丈夫」と思えるまでに時間がかかるでしょう。

Contents

1 2021年東京理科大
2 2021年愛知学院大

2021年東京理科大

2021年東京理科大実数 $x,~y$ が，$1\leqq x\leqq4$，$y\geqq1$，および，$x^2-x=y^2+y$ を満たす。このとき，$4x^3-9y^3$ の最大値は $\myhako$ であり，最小値は $\myhako$ である。

【解答と考え方】
　2変数関数の最大値や最小値を考えるのは難しいので，1つの変数を消去することを考える。$x^2-x=y^2+y$ より

\begin{align*}
&x^2-x-y(y+1)=0 \\[4pt]
&(x-y-1)(x+y)=0 \\[4pt]
&x-y-1=0~または~x+y=0
\end{align*}

ここで $1\leqq x\leqq4$，$y\geqq1$ のとき，$x+y>0$ であるから，$x-y-1=0$
よって，$y=x-1$ となり，$y\geqq1$ より，

\begin{align*}
&x-1\geqq1 \\[4pt]
&x\geqq2
\end{align*}

$1\leqq x\leqq4$ との共通部分を考えて，$2\leqq x\leqq4$
このとき

\begin{align*}
&4x^3-9y^3 \\[4pt]
&=4x^3-9(x-1)^3 \\[4pt]
&=-5x^3+27x^2-27x+9
\end{align*}

$f(x)=-5x^3+27x^2-27x+9$ とすると

\begin{align*}
f'(x)&=-15x^2+54x-27 \\[4pt]
&=-3(5x^2-18x+9) \\[4pt]
&=-3(x-3)(5x-3)
\end{align*}

$f'(x)=0$ とすると，$x=3,~\dfrac{3}{5}$
よって，$f(x)$ の増減は次のようになる。

\begin{align*}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
x & 2 & \cdots & 3 & \cdots & 4 \\\hline
f'(x) & & + & 0 & – & \\\hline
f(x) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\\hline
\end{array}
\end{align*}

また

\begin{align*}
&f(2)=32-9=23 \\[4pt]
&f(3)=108-72=36 \\[4pt]
&f(4)=256-243=13
\end{align*}

したがって，$4x^3-9y^3$ の最大値は36，最小値は13である。

2021年愛知学院大

2021年愛知学院大$x,~y,~z$ は

\begin{align*}
\begin{cases}
x+y+z=0 \\[4pt]
x^2+x=yz
\end{cases}
\end{align*}

をみたす実数とする。
(1) $x$ のとりうる範囲を求めなさい。
(2) $x^3+y^3+z^3$ を $x$ の式で表しなさい。
(3) $x^3+y^3+z^3$ の最大値，最小値とそのときの $x$ の値をそれぞれ求めなさい。

【(1)の解答と考え方】
　問題文に「実数」とあって，和と差に関する条件式があれば，実数となる2文字を解にもつ2次方程式を考えて，その判別式が0以上という不等式を作ろう。今回は $x$ の値の範囲を求めたいから，$x$ 以外の文字，すなわち $y$ と $z$ を2解にもつ2次方程式を考えるとよい。
　与えられた条件式から

\begin{align*}
y+z=-x,~yz=x^2+x
\end{align*}

$y,~z$ を解にもつ $t$ の2次方程式の1つは

\begin{align*}
&t^2-(y+z)t+yz=0 \\[4pt]
&t^2+xt+x^2+x=0~\cdots\cdots①
\end{align*}

であり，$y,~z$ は実数であるから，①は実数解をもつ。①の判別式を $D$ とすると $D\geqq0$ となるから

\begin{align*}
&x^2-4(x^2+x)\geqq0 \\[4pt]
&x(3x+4)\leqq0 \\[4pt]
&-\dfrac{4}{3}\leqq x\leqq0
\end{align*}

(2) $x^3+y^3+z^3$ を $x$ の式で表しなさい。

【(2)の解答と考え方】
　もし，(1)が分からなくても手を付けよう。対称式の変形さえできれば解けるはず。$y+z=-x,~yz=x^2+x$ より

\begin{align*}
y^3+z^3&=(y+z)^3-3yz(y+z) \\[4pt]
&=(-x)^3-3(x^2+x)(-x) \\[4pt]
&=2x^3+3x^2
\end{align*}

よって，$x^3+y^3+z^3=3x^3+3x^2$

(3) $x^3+y^3+z^3$ の最大値，最小値とそのときの $x$ の値をそれぞれ求めなさい。

【(3)の解答と考え方】
$f(x)=3x^3+3x^2$ とおくと

\begin{align*}
f'(x)&=9x^2+6x \\[4pt]
&=3x(3x+2)
\end{align*}

$f'(x)=0$ とすると，$x=0,~-\dfrac{2}{3}$
よって，$-\dfrac{4}{3}\leqq x\leqq0$ における $f(x)$ の増減は次のようになる。

\begin{align*}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
x & -\dfrac{4}{3} & \cdots & -\dfrac{2}{3} & \cdots & 0 \\\hline
f'(x) & & + & 0 & – & \\\hline
f(x) & & \nearrow & 極大 & \searrow & \\\hline
\end{array}
\end{align*}

端点の $y$ 座標，極大値を求める。

\begin{align*}
&f\left(-\dfrac{4}{3}\right)=3\Cdota\dfrac{16}{9}\left(-\dfrac{4}{3}+1\right)=-\dfrac{16}{9} \\[4pt]
&f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=3\Cdota\dfrac{4}{9}\left(-\dfrac{2}{3}+1\right)=\dfrac{4}{9} \\[4pt]
&f(0)=0
\end{align*}

よって，$x=-\dfrac{2}{3}$ のとき最大値 $\dfrac{4}{9}$ をとり，$x=-\dfrac{4}{3}$ のとき最小値 $-\dfrac{16}{9}$ をとる。