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カージオイド曲線で囲まれる部分の面積
ヒロ
カージオイド曲線で囲まれる部分の面積 $S$ を求めよう。
斜線部分の面積の2倍が $S$ である。
凹んでいる部分があるため，次の2つの図で色を付けた部分の面積の差をとって $S$ を求めよう。
$0\leqq\theta\leqq\dfrac23\pi$ のときの $y$ を $y_1$，$\dfrac23\pi\leqq\theta\leqq\pi$ のときの $y$ を $y_2$ とすると，
凹んでいる部分があるため，次の2つの図で色を付けた部分の面積の差をとって $S$ を求めよう。
$0\leqq\theta\leqq\dfrac23\pi$ のときの $y$ を $y_1$，$\dfrac23\pi\leqq\theta\leqq\pi$ のときの $y$ を $y_2$ とすると，
\begin{align*}
&({\color{red}赤色}部分の面積)=\dint{-\frac14a}{2a}y_1\;dx=\dint{\frac23\pi}{0}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta \\[4pt]
&({\color{blue}青色}部分の面積)=\dint{-\frac14a}{0}y_2\;dx=\dint{\frac23\pi}{\pi}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta
\end{align*}
と表すことができる。よって，求める面積 $S$ は，&({\color{red}赤色}部分の面積)=\dint{-\frac14a}{2a}y_1\;dx=\dint{\frac23\pi}{0}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta \\[4pt]
&({\color{blue}青色}部分の面積)=\dint{-\frac14a}{0}y_2\;dx=\dint{\frac23\pi}{\pi}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta
\end{align*}
\begin{align*}
S&=2\left(\dint{\frac23\pi}{0}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta
-\dint{\frac23\pi}{\pi}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta\right) \\
&=2\dint{\pi}{0}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta \\
&=2\dint{\pi}{0}a\sin\theta(1+\cos\theta)\Cdota a(-\sin\theta-2\cos\theta\sin\theta)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\sin^2\theta(1+\cos\theta)(1+2\cos\theta)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\sin^2\theta(2\cos^2\theta+3\cos\theta+1)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\left(\dfrac12\sin^22\theta
+3\sin^2\theta\cos\theta+\sin^2\theta\right)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\left(\dfrac{1-\cos4\theta}{4}+3\sin^2\theta\cos\theta
+\dfrac{1-\cos2\theta}{2}\right)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\left(3\sin^2\theta\cos\theta
-\dfrac14\cos4\theta-\dfrac12\cos2\theta+\dfrac34\right)\;d\theta \\
&=2a^2\Tint{\sin^3\theta-\dfrac{1}{16}\sin4\theta
-\dfrac14\sin2\theta+\dfrac34\theta}{0}{\pi} \\
&=\dfrac32\pi a^2
\end{align*}
S&=2\left(\dint{\frac23\pi}{0}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta
-\dint{\frac23\pi}{\pi}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta\right) \\
&=2\dint{\pi}{0}y\dfrac{dx}{d\theta}\;d\theta \\
&=2\dint{\pi}{0}a\sin\theta(1+\cos\theta)\Cdota a(-\sin\theta-2\cos\theta\sin\theta)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\sin^2\theta(1+\cos\theta)(1+2\cos\theta)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\sin^2\theta(2\cos^2\theta+3\cos\theta+1)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\left(\dfrac12\sin^22\theta
+3\sin^2\theta\cos\theta+\sin^2\theta\right)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\left(\dfrac{1-\cos4\theta}{4}+3\sin^2\theta\cos\theta
+\dfrac{1-\cos2\theta}{2}\right)\;d\theta \\
&=2a^2\dint{0}{\pi}\left(3\sin^2\theta\cos\theta
-\dfrac14\cos4\theta-\dfrac12\cos2\theta+\dfrac34\right)\;d\theta \\
&=2a^2\Tint{\sin^3\theta-\dfrac{1}{16}\sin4\theta
-\dfrac14\sin2\theta+\dfrac34\theta}{0}{\pi} \\
&=\dfrac32\pi a^2
\end{align*}
ヒロ
極方程式が与えられている場合は，次の公式を利用しよう。
極方程式と面積
極方程式 $r=f(\theta)$ で表される曲線と2直線 $\theta=\alpha$, $\theta=\beta$ で囲まれる部分の面積を $S$ とすると
\begin{align*}
S=\dint{\alpha}{\beta}\dfrac{1}{2}\{f(\theta)\}^2\;d\theta
\end{align*}
S=\dint{\alpha}{\beta}\dfrac{1}{2}\{f(\theta)\}^2\;d\theta
\end{align*}
$f(\theta)=a(1+\cos\theta)$ より
\begin{align*}
S&=2\dint{0}{\pi}\dfrac{1}{2}a^2(1+\cos\theta)^2\;d\theta \\[4pt]
&=a^2\dint{0}{\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)\;d\theta \\[4pt]
&=a^2\dint{0}{\pi}\left(1+2\cos\theta+\dfrac{1+\cos2\theta}{2}\right)\;d\theta \\[4pt]
&=a^2\Tint{\dfrac{3}{2}\theta+2\sin\theta+\dfrac{1}{4}\sin2\theta}{0}{\pi} \\[4pt]
&=\dfrac{3}{2}\pi a^2
\end{align*}
S&=2\dint{0}{\pi}\dfrac{1}{2}a^2(1+\cos\theta)^2\;d\theta \\[4pt]
&=a^2\dint{0}{\pi}(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)\;d\theta \\[4pt]
&=a^2\dint{0}{\pi}\left(1+2\cos\theta+\dfrac{1+\cos2\theta}{2}\right)\;d\theta \\[4pt]
&=a^2\Tint{\dfrac{3}{2}\theta+2\sin\theta+\dfrac{1}{4}\sin2\theta}{0}{\pi} \\[4pt]
&=\dfrac{3}{2}\pi a^2
\end{align*}