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カージオイド曲線の極方程式
ヒロ
カージオイド曲線の媒介変数表示から極方程式を導こう。
$\kaku{OCD_2}=\kaku{PD_2C}$ で $\mathrm{OC}=\mathrm{D_2P}$ であるから，四角形 $\mathrm{OCD_2P}$ は等脚台形である。よって，$\kaku{AOP}=\theta$ である。
$\begin{cases}
x=a\cos\theta(1+\cos\theta) \\[4pt]
y=a\sin\theta(1+\cos\theta)
\end{cases}$ より，
$\begin{cases}
x=a\cos\theta(1+\cos\theta) \\[4pt]
y=a\sin\theta(1+\cos\theta)
\end{cases}$ より，
\begin{align*}
r&=\sqrt{x^2+y^2} \\[4pt]
&=\sqrt{a^2\cos^2\theta(1+\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta(1+\cos\theta)^2} \\[4pt]
&=\sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2} \\[4pt]
&=\abs{a(1+\cos\theta)}
\end{align*}
$a>0$, $1+\cos\theta\geqq0$ よりr&=\sqrt{x^2+y^2} \\[4pt]
&=\sqrt{a^2\cos^2\theta(1+\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta(1+\cos\theta)^2} \\[4pt]
&=\sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2} \\[4pt]
&=\abs{a(1+\cos\theta)}
\end{align*}
\begin{align*}
r=a(1+\cos\theta)
\end{align*}
r=a(1+\cos\theta)
\end{align*}