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十の位が等しく，十の位と一の位の和が10の二桁の整数の積を速く計算する方法
ヒロ
最初に説明した一の位の数字が5の二桁の2乗の一般形が今から説明するものになる。
ヒロ
具体的には $11\times19$ や $53\times57$ のように，十の位が等しく，十の位と一の位の和が10になっている積を速く計算する方法を紹介する。
【計算の流れ】
- 十の位の数字と十の位に1を加えた数の積を上二桁として書く。
- 一の位の数字の積を下二桁として書く。
ヒロ
具体的には次のようになる。
【具体例】
$11\times19$ の場合は，十の位の数字が1だから，$1\times2$ を計算して，2を書く。
一の位の積は $1\times9=9$ だから
書いて，一の位の積 $3\times7$ の結果の21を下二桁として書いて次のようになる。
$11\times19$ の場合は，十の位の数字が1だから，$1\times2$ を計算して，2を書く。
一の位の積は $1\times9=9$ だから
\begin{align*}
11\times19=209
\end{align*}
となる。$53\times57$ の場合は，十の位の数字が2だから，$5\times6$ を計算して30を上二桁として11\times19=209
\end{align*}
書いて，一の位の積 $3\times7$ の結果の21を下二桁として書いて次のようになる。
\begin{align*}
53\times57=3021
\end{align*}
53\times57=3021
\end{align*}
十の位が等しく，十の位と一の位の和が10の二桁の整数の積の速算の証明
ヒロ
最初の速算と同様，証明しておこう。
【証明】
2つの数を $10a+b,~10a+c$（ただし $b+c=10~\cdots\cdots①$）とすると
それに1を加えた数字の積を上二桁の数字にして，下二桁を $bc$ にすれば良いという結果になる。
2つの数を $10a+b,~10a+c$（ただし $b+c=10~\cdots\cdots①$）とすると
\begin{align*}
(10a+b)(10a+c)&=100a^2+10a(b+c)+bc
\end{align*}
①より(10a+b)(10a+c)&=100a^2+10a(b+c)+bc
\end{align*}
\begin{align*}
(10a+b)(10a+c)&=100a^2+100a+bc \\[4pt]
&=100a(a+1)+bc
\end{align*}
これは $a(a+1)$ を100倍して $bc$ を加える計算だから，十の位の数字と(10a+b)(10a+c)&=100a^2+100a+bc \\[4pt]
&=100a(a+1)+bc
\end{align*}
それに1を加えた数字の積を上二桁の数字にして，下二桁を $bc$ にすれば良いという結果になる。