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十の位の和が10で，一の位が等しい二桁の整数の積を速く計算する方法
ヒロ
$24\times84$ や $47\times67$ のように，十の位の和が10で，一の位が等しい二桁の整数の積を速く計算する方法を紹介する。
【計算の流れ】
- 十の位の数字の積に一の位の数を加えた数を上二桁として書く。
- 一の位の数の2乗を下二桁として書く。
ヒロ
具体的には次のようになる。
【具体例】
$24\times84$ の場合は，$2\times8+4$ を計算した結果20を上二桁にする。
下二桁は $4^2=16$ だから
$24\times84$ の場合は，$2\times8+4$ を計算した結果20を上二桁にする。
下二桁は $4^2=16$ だから
\begin{align*}
24\times84=2016
\end{align*}
となる。$47\times67$ の場合は，$4\times6+7=31$ を上二桁にして，下二桁は $7^2=49$ だから24\times84=2016
\end{align*}
\begin{align*}
47\times67=3149
\end{align*}
となる。47\times67=3149
\end{align*}
十の位の和が10で，一の位が等しい二桁の整数の積の速算の証明
ヒロ
これも証明しておこう。
【証明】
2つの数を $10a+c,~10b+c$（ただし $a+b=10~\cdots\cdots①$）とすると
一の位の数を加えた値を上二桁の数字にして，下二桁を $c^2$ にすれば良いという結果になる。
2つの数を $10a+c,~10b+c$（ただし $a+b=10~\cdots\cdots①$）とすると
\begin{align*}
(10a+c)(10b+c)&=100ab+10(a+b)c+c^2
\end{align*}
①より(10a+c)(10b+c)&=100ab+10(a+b)c+c^2
\end{align*}
\begin{align*}
(10a+c)(10b+c)&=100ab+100c+c^2 \\[4pt]
&=100(ab+c)+c^2
\end{align*}
これは $ab+c$ を100倍して $c^2$ を加える計算だから，十の位の数字の積に(10a+c)(10b+c)&=100ab+100c+c^2 \\[4pt]
&=100(ab+c)+c^2
\end{align*}
一の位の数を加えた値を上二桁の数字にして，下二桁を $c^2$ にすれば良いという結果になる。
二桁の整数と11の積を速く計算する方法
ヒロ
$42\times11$ や $68\times11$ のように，二桁の整数と11の積を速く計算する方法を紹介する。
【計算の流れ】
- 十の位と一の位の和が9以下なら，十の位と一の位の2数を1桁分空けて書く。十の位と一の位の和が10以上なら，十の位の数に1を加えた数と一の位の数を1桁分空けて書く。
- 十の位と一の位の和の一の位を空けた間に書く。
ヒロ
具体的には次のようになる。
【具体例】
$42\times11$ の場合は，「4 2」のように4と2の間を空けて書いて，間に4と2の和6を書けば良いから
$42\times11$ の場合は，「4 2」のように4と2の間を空けて書いて，間に4と2の和6を書けば良いから
\begin{align*}
42\times11=462
\end{align*}
となる。$68\times11$ の場合は $6+8=14$ だから42\times11=462
\end{align*}
\begin{align*}
68\times11=748
\end{align*}
となる。68\times11=748
\end{align*}
ヒロ
これは筆算を考えれば理屈を理解できるだろう。
ヒロ
次のような問題のように，ちょっとしたところで利用できるので使えるようにしておくと良いと思う。
