【数学ⅡB】二項定理【広島工業大・中部大・立教大】

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二項定理に関する入試問題

2020年広島工業大

$(2x+1)^n$ の展開式における

$x^2$ の項の係数を264とする。このとき，自然数

$n$ の値を求めよ。

【考え方と解答】

$(2x+1)^n$ の展開式の

$x^2$ の項は

$\nCk{n}{2}(2x)^2$ であり，

$x^2$ の係数が264のとき

$\begin{align*} &\nCk{n}{2}2^2=264 \\[4pt] &n(n-1)=132 \\[4pt] &n^2-n-132=0 \\[4pt] &(n-12)(n+11)=0 \\[4pt] &n=12,~-11 \end{align*}$

$n$ は自然数であるから，

$n=12$

二項定理に関する入試問題2

2018年中部大・改次の式の値を求めよ。

$\begin{align*} \nCk{8}{0}-\nCk{8}{1}2^{-1}+\nCk{8}{2}2^{-2}-\nCk{8}{3}2^{-3}+\cdots-\nCk{8}{7}2^{-7}+\nCk{8}{8}2^{-8} \end{align*}$

【考え方と解答】
式の形から「与えられた式は二項定理を用いて展開した式」だと思えるようにしよう。

$\begin{align*} (与式)&=\nCk{8}{0}-\nCk{8}{1}2^{-1}+\nCk{8}{2}2^{-2}-\nCk{8}{3}2^{-3}+\cdots-\nCk{8}{7}2^{-7}+\nCk{8}{8}2^{-8} \\[4pt] &=\nCk{8}{0}\Cdota(-1)^8+\nCk{8}{1}\Cdota\dfrac{1}{2}\Cdota(-1)^7+\nCk{8}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\Cdota(-1)^6-\nCk{8}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\Cdota(-1)^6+ \\[4pt] &　　　\cdots-\nCk{8}{7}\left(\dfrac{1}{2}\right)^7\Cdota(-1)+\nCk{8}{8}\left(\dfrac{1}{2}\right)^8 \\[4pt] &=\left(-1+\dfrac{1}{2}\right)^8=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^8 \\[4pt] &=\dfrac{1}{256} \end{align*}$

二項定理に関する入試問題

2019年立教大

$\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)^8$ の展開式における

$x^4$ の係数は

$\myhako$ である。

【考え方と解答】

$\left(x^2-\dfrac{1}{x^2}\right)^8$ の展開式の一般項は

$\begin{align*} \nCk{8}{k}(x^2)^k\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)^{8-k}=(-1)^{8-k}\nCk{8}{k}x^{4k-16} \end{align*}$

となり，これが

$x^4$ の項を表すときを考えて

$\begin{align*} &4x-16=4 \\[4pt] &k=5 \end{align*}$

よって，求める

$x^4$ の係数は

$\begin{align*} (-1)^{8-5}\nCk{8}{5}&=-\nCk{8}{3}=-56 \end{align*}$