Contents
展開の意味を理解しよう
ヒロ
まずは展開公式の理解を深めよう。
ヒロ
次の記事では「$(a+b+c)^3$ を楽に展開する方法」を説明するために，展開の意味を説明しているので参考にして欲しい。
二項定理の意味を理解しよう
ヒロ
上の記事で展開の意味については理解してもらえただろう。
ヒロ
次に2項式の3乗の公式の理解を深めよう。
【2項式の3乗】
$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$ であり，3個の $a+b$ それぞれから $a$ か $b$ のどちらか1つを選びだして掛けて1つの項にする。すべての組合せで得られる項の和が展開式である。
$a$ の選ぶ個数に着目すると，0個から3個の4通りある。例えば3個の $a+b$ のうち，$a$ を1個選んだ場合は $b$ は残りの3個を選ぶことになるから $ab^3$ という項ができる。この項の係数は「異なる3個のものから1個を選ぶ方法」に等しいから $\nCk{3}{1}$ である。したがって
また，選ぶものとして考える文字を $b$ にすると
$(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)$ であり，3個の $a+b$ それぞれから $a$ か $b$ のどちらか1つを選びだして掛けて1つの項にする。すべての組合せで得られる項の和が展開式である。
$a$ の選ぶ個数に着目すると，0個から3個の4通りある。例えば3個の $a+b$ のうち，$a$ を1個選んだ場合は $b$ は残りの3個を選ぶことになるから $ab^3$ という項ができる。この項の係数は「異なる3個のものから1個を選ぶ方法」に等しいから $\nCk{3}{1}$ である。したがって
\begin{align*}
(a+b)^3&=\nCk{3}{3}a^3b^0+\nCk{3}{2}a^2b^1+\nCk{3}{1}a^1b^2+\nCk{3}{0}a^0b^3 \\[4pt]
&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\end{align*}
となり，3乗の展開公式が得られる。(a+b)^3&=\nCk{3}{3}a^3b^0+\nCk{3}{2}a^2b^1+\nCk{3}{1}a^1b^2+\nCk{3}{0}a^0b^3 \\[4pt]
&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
\end{align*}
また，選ぶものとして考える文字を $b$ にすると
\begin{align*}
(a+b)^3=\nCk{3}{0}a^3b^0+\nCk{3}{1}a^2b^1+\nCk{3}{2}a^1b^2+\nCk{3}{3}a^0b^3
\end{align*}
となるが，どちらで考えても同じ結果である。(a+b)^3=\nCk{3}{0}a^3b^0+\nCk{3}{1}a^2b^1+\nCk{3}{2}a^1b^2+\nCk{3}{3}a^0b^3
\end{align*}
ヒロ
二項定理も簡単に理解できるだろう。
【二項定理の意味を理解しよう】
$(a+b)^n$ は $a+b$ を $n$ 個掛けた式である。展開する場合は，$n$ 個の $a+b$ それぞれから $a$ か $b$ のどちらか1つの項を選び出し，それらの積を1つの項とする。すべての組合せについて項を求めて掛けたものが展開した式になる。
つまり，$n$ 個の $a+b$ のうち，$a$ を $k$ 個，$b$ を $n-k$ 個選んだとすると，$a^kb^{n-k}$ という項ができる。係数は「異なる $n$ 個のものから $k$ を選ぶ方法」と等しいから $\nCk{n}{k}$ である。$k$ の取り得る値は0以上 $n$ 以下の整数であるから
$(a+b)^n$ は $a+b$ を $n$ 個掛けた式である。展開する場合は，$n$ 個の $a+b$ それぞれから $a$ か $b$ のどちらか1つの項を選び出し，それらの積を1つの項とする。すべての組合せについて項を求めて掛けたものが展開した式になる。
つまり，$n$ 個の $a+b$ のうち，$a$ を $k$ 個，$b$ を $n-k$ 個選んだとすると，$a^kb^{n-k}$ という項ができる。係数は「異なる $n$ 個のものから $k$ を選ぶ方法」と等しいから $\nCk{n}{k}$ である。$k$ の取り得る値は0以上 $n$ 以下の整数であるから
\begin{align*}
(a+b)^n=\nCk{n}{0}a^n&+\nCk{n}{1}a^{n-1}b+\cdots \\[4pt]
&\cdots+\nCk{n}{n-1}ab^{n-1}+\nCk{n}{n}a^0b^n
\end{align*}
となる。(a+b)^n=\nCk{n}{0}a^n&+\nCk{n}{1}a^{n-1}b+\cdots \\[4pt]
&\cdots+\nCk{n}{n-1}ab^{n-1}+\nCk{n}{n}a^0b^n
\end{align*}