成績を上げるためには自宅学習!

数学の解説動画の作成開始しました。
チャンネル登録お願いいたします。

動画ページへ

【数学ⅡB】角の二等分線の方程式【椙山女学園大】

角の二等分線数学IAIIB
新形態のオンライン学習塾!
スポンサーリンク

角の二等分線の方程式の求め方 part2

ヒロ
ヒロ

話を角の二等分線の方程式に戻そう。

ヒロ
ヒロ

点と直線の距離を使わずに,角の二等分線の方程式を求めることもできる。

【角の二等分線】
 2直線①,②のなす鋭角の二等分線の方程式を求めたいとする。「鋭角」であるから,求める直線は1つに限られる。①と②の交点をPとし,2直線①,②上の点でPから等距離にある点をそれぞれQ,Rとする。このとき,線分QRの垂直二等分線が $\kaku{QPR}$ の二等分線になる。
角の二等分線と線分の垂直二等分線
 2直線①,②から等距離にある2点Q,Rの座標が分かっているか,簡単に求められるなら,この求め方が良いかもしれない。外角の二等分線を求めたい場合は,点Pに関して点Qの対称な点Q$’$ の座標を求めれば,線分Q$’$Rの垂直二等分線を求めることで角の二等分線を求めることができる。点Pに関して点Rの対称な点R$’$ の座標を求めて,線分QR$’$の垂直二等分線を求めても良い。

角の二等分線に関する問題【椙山女学園大】

2020年 椙山女学園大・改 点P$\left(\dfrac{5}{2},~\dfrac{9}{4}\right)$ を通り,直線 $L:y=\dfrac{1}{2}x+1$ に直交する直線 $M$ の方程式は,
\begin{align*}
\myhako\,x+\myhako\,y=\myhako
\end{align*}
である。したがって,直線 $L$ と $45\Deg$ の角度で交わり点Pを通る2つの直線は,直線 $L$ と $M$ からの距離が等しい点の集まりだから,それらの方程式は次のようになる。
\begin{align*}
&\myhako\,x+\myhako\,y=\myBox{ア}, \\[4pt]&\myhako\,x-\myhako\,y=\myBox{イ}
\end{align*}
ただし,$\myBox{ア}$,$\myBox{イ}$ はどちらも奇数であるとする。
【考え方と解答】
 垂直条件について忘れている人は「2直線の平行条件と垂直条件」を読んでおくと良いだろう。直線 $M$ の傾きは $-2$ であるから,その方程式は
\begin{align*}
&y=-2\left(x-\dfrac{5}{2}\right)+\dfrac{9}{4} \\[4pt]&4y=-2(4x-10)+9 \\[4pt]&8x+4y=29
\end{align*}
求める直線は,2直線 $L$ と $M$ のなす角の二等分線であることが分かる。誘導通り「2直線までの距離が等しい」ことを利用して求めよう。$L$ の方程式を一般形で表すと $x-2y+2=0$ となる。
 求める直線上の点を $(X,~Y)$ とすると,2直線 $L,~M$ までの距離が等しいから
\begin{align*}
&\dfrac{\abs{X-2Y+2}}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\dfrac{\abs{8X+4Y-29}}{\sqrt{8^2+4^2}} \\[4pt]&\dfrac{\abs{X-2Y+2}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\abs{8X+4Y-29}}{4\sqrt{5}} \\[4pt]&4\abs{X-2Y+2}=\abs{8X+4Y-29} \\[4pt]&4(X-2Y+2)=\pm(8X+4Y-29) \\[4pt]&4X+12Y=37,~12X-4Y=21
\end{align*}
したがって,求める直線の方程式は
\begin{align*}
4x+12y=37,~12x-4y=21
\end{align*}
タイトルとURLをコピーしました