2002年センター試験 数学ⅡB 第1問 複素数平面

2002年センター試験数学ⅡB 第1問複素数平面の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2002年センターⅡB 第1問複素数平面(1) 相異なる二つの複素数 $a$, $b$ に対して

\begin{align*}
\arg\dfrac{z-a}{z-b}=\pm90\Deg
\end{align*}

を満たす $z$ は，複素数平面上の，ある円の周上にある。この円は $a$, $b$ を用いて

\begin{align*}
\abs{z-\dfrac{\myBox{ア}+\myBox{イ}}{\myBox{ウ}}}=\dfrac{\abs{\myBox{エ}-\myBox{オ}}}{\myBox{カ}}
\end{align*}

で表される。ただし，$\arg z$ は複素数 $z$ の偏角を表す。
(2) 以下，複素数の偏角は $0\Deg$ 以上 $360\Deg$ 未満とする。
　2次方程式 $x^2-2x+4=0$ の二つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。ただし，$\alpha$ の虚部は正とする。このとき

\begin{align*}
&\arg\alpha=\myBox{キク}\Deg,~\arg\beta=\myBox{ケコサ}\Deg \\[4pt]
&\alpha^2+\beta^2=\myBox{シス},~\alpha^2-\beta^2=\myBox{セ}\sqrt{\myBox{ソ}}
\end{align*}

である。したがって

\begin{align*}
\arg\dfrac{z-\alpha^2}{z-\beta^2}=90\Deg
\end{align*}

を満たす $z$ が描く図形は

\begin{align*}
\abs{z+\myBox{タ}}=\myBox{チ}\sqrt{\myBox{ツ}}
\end{align*}

で表される円のうち

\begin{align*}
\myBox{テトナ}\Deg<\arg z<\myBox{ニヌネ}\Deg \end{align*}

を満たす部分である。

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 2002年センター数学ⅡB 複素数平面を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

偏角に関する情報から，円の中心と半径を求める問題だね。

複素数平面上の円　複素数平面上の2点 $\mathrm{A}(\alpha)$, $\mathrm{B}(\beta)$ を直径の両端とする円 $C$ を考えると，円の中心を表す複素数は $\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ であり，半径は $\dfrac{\abs{\alpha-\beta}}{2}$ である。
　よって，円 $C$ 上の点を $\mathrm{P}(z)$ とすると

\begin{align*}
\abs{z-\dfrac{\alpha+\beta}{2}}=\dfrac{\abs{\alpha-\beta}}{2}
\end{align*}

が成り立つ。また，直径に対する円周角は $90\Deg$ であるから

\begin{align*}
\arg\dfrac{z-\alpha}{z-\beta}=\pm90\Deg
\end{align*}

が成り立つ。

ヒロ

このことを理解していれば速答できるね。

【ア～カの解答】
上のポイントより

\begin{align*}
\abs{z-\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{\abs{a-b}}{2}
\end{align*}

(2)の解答

(2) 以下，複素数の偏角は $0\Deg$ 以上 $360\Deg$ 未満とする。
　2次方程式 $x^2-2x+4=0$ の二つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。ただし，$\alpha$ の虚部は正とする。このとき
\begin{align*}
&\arg\alpha=\myBox{キク}\Deg,~\arg\beta=\myBox{ケコサ}\Deg \\[4pt]
&\alpha^2+\beta^2=\myBox{シス},~\alpha^2-\beta^2=\myBox{セ}\sqrt{\myBox{ソ}}
\end{align*}
である。したがって
\begin{align*}
\arg\dfrac{z-\alpha^2}{z-\beta^2}=90\Deg
\end{align*}
を満たす $z$ が描く図形は
\begin{align*}
\abs{z+\myBox{タ}}=\myBox{チ}\sqrt{\myBox{ツ}}
\end{align*}
で表される円のうち
\begin{align*}
\myBox{テトナ}\Deg<\arg z<\myBox{ニヌネ}\Deg \end{align*}
を満たす部分である。

ヒロ

2次方程式の2解から様々な値を求める問題。

【キ～サの解答】
$x^2-2x+4=0$ を解くと，$x=1\pm\sqrt{3}i$
$\alpha$ の虚部が正であるから，

\begin{align*}
\alpha=1+\sqrt{3}i,~\beta=1-\sqrt{3}i
\end{align*}

これらを極形式に変形すると

\begin{align*}
\alpha&=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) \\[4pt]
&=2(\cos60\Deg+i\sin60\Deg) \\[4pt]
\beta&=2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) \\[4pt]
&=2(\cos300\Deg+i\sin300\Deg)
\end{align*}

となるから，

\begin{align*}
\arg\alpha=60\Deg,~\arg\beta=300\Deg
\end{align*}

ヒロ

次は2乗の和と差を求める問題。

【シ～ソの解答】

\begin{align*}
\alpha+\beta=2,~\alpha-\beta=2\sqrt{3}i,~\alpha\beta=4
\end{align*}

であるから

\begin{align*}
\alpha^2+\beta^2&=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta \\[4pt]
&=2^2-2\Cdota4=-4 \\[4pt]
\alpha^2-\beta^2&=(\alpha+\beta)(\alpha-\beta) \\[4pt]
&=2\Cdota2\sqrt{3}i=4\sqrt{3}i
\end{align*}

ヒロ

次は円の中心と半径を求める問題。

【タ～ネの解答】
$\arg\dfrac{z-\alpha^2}{z-\beta^2}=90\Deg$ を満たす $z$ が描く図形は半円であり，円の中心は $\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{2}$ で，半径は $\dfrac{\abs{\alpha^2-\beta^2}}{2}$ である。ここで

\begin{align*}
&\dfrac{\alpha^2+\beta^2}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2 \\[4pt]
&\dfrac{\abs{\alpha^2-\beta^2}}{2}=\dfrac{\abs{4\sqrt{3}i}}{2}=2\sqrt{3}
\end{align*}

であるから，$z$ が満たす方程式は

\begin{align*}
\abs{z+2}=2\sqrt{3}
\end{align*}

である。また，ド・モアブルの定理を利用して偏角を求めると，

\begin{align*}
&\arg\alpha^2=2\arg\alpha=120\Deg \\[4pt]
&\arg\beta^2=2\arg\beta=240\Deg
\end{align*}

となるから，$z$ が描く半円は次の図のようになる。

よって，$120\Deg<\arg z<240\Deg$

ヒロ

この問題で難しく感じるのは，半円を描くと分かった後，どちら側の半円を描くのかを判断する部分かもしれない。

【どちらの半円を描くかの判断】
　$\alpha^2,~\beta^2,~z$ が表す点をそれぞれ，B，Pとする。このとき

\begin{align*} \arg\dfrac{z-\alpha^2}{z-\beta^2}=\kaku{BPA} \end{align*}

となるが，上図の破線部分に点Pがあるときは $\Vec{PB}$ を点Pを中心に反時計回りに $270\Deg$ 回転させないと $\Vec{PA}$ に重ならないから，題意を満たさない。
　$\Vec{PB}$ を点Pを中心に反時計回りに $90\Deg$ 回転させたとき， $\Vec{PA}$ に重なるのは赤線部分に点Pがあるときだと分かる。