2020年センター試験数学ⅡB 第1問指数関数・対数関数

2020年センター試験数学ⅡB 第1問指数関数・対数関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2020年センターⅡB 第1問指数・対数関数(1) $t$ は正の実数であり，$t^{\frac{1}{3}}-t^{-\frac{1}{3}}=-3$ を満たすとする。このとき

\begin{align*} t^{\frac{2}{3}}-t^{-\frac{2}{3}}=\myBox{タチ} \end{align*}

である。さらに

\begin{align*} t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}=\sqrt{\myBox{ツテ}},~t-t^{-1}=\myBox{トナニ} \end{align*}

である。
(2) $x,~y$ は正の実数とする。連立不等式

\begin{align*} \begin{cases} \log_3(x\sqrt{y})\leqq5 &~\cdots\cdots② \\[4pt] \log_{81}\dfrac{y}{x^3}\leqq1 &~\cdots\cdots③ \end{cases} \end{align*}

について考える。
　$X=\log_3x,~Y=\log_3y$ とおくと，②は

\begin{align*} \myBox{ヌ}\,X+Y\leqq\myBox{ネノ}~\cdots\cdots④ \end{align*}

と変形でき，③は

\begin{align*} \myBox{ハ}\,X-Y\geqq\myBox{ヒフ}~\cdots\cdots⑤ \end{align*}

と変形できる。
　$X,~Y$ が④と⑤を満たすとき，$Y$ のとり得る最大の整数の値は $\myBox{ヘ}$ である。また，$x,~y$ が②，③と $\log_3y=\mybox{ヘ}$ を同時に満たすとき， $x$ のとり得る最大の整数の値は $\myBox{ホ}$ である。

Contents

1 (1)の考え方と解答
2 (2)の考え方と解答
3 2020年センター数学ⅡB 指数関数・対数関数を解いた感想

(1)の考え方と解答

ヒロ

対称式の変形の応用問題だね。

【タチの解答】
$t^{\frac{1}{3}}=a$ とおくと，$a-\dfrac{1}{a}=-3$ であるから

\begin{align*} t^{\frac{2}{3}}+t^{-\frac{2}{3}} &=a^2+\dfrac{1}{a^2} \\[4pt] &=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+2 \\[4pt] &=(-3)^2+2 \\[4pt] &=11 \end{align*}

ヒロ

同じように進めていこう。

【ツ～ニの解答】

\begin{align*} \left(t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}\right)^2 &=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2 \\[4pt] &=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+4 \\[4pt] &=(-3)^2+4 \\[4pt] &=13 \end{align*}

$t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}>0$ より，

\begin{align*} t^{\frac{1}{3}}+t^{-\frac{1}{3}}=\sqrt{13} \end{align*}

また

\begin{align*} t-t^{-1} &=a^3-\dfrac{1}{a^3} \\[4pt] &=\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^3+3\left(a-\dfrac{1}{a}\right) \\[4pt] &=(-3)^3+3\Cdota(-3) \\[4pt] &=-36 \end{align*}

(2)の考え方と解答

(2) $x,~y$ は正の実数とする。連立不等式
\begin{align*} \begin{cases} \log_3(x\sqrt{y})\leqq5 &~\cdots\cdots② \\[4pt] \log_{81}\dfrac{y}{x^3}\leqq1 &~\cdots\cdots③ \end{cases} \end{align*}
について考える。
　$X=\log_3x,~Y=\log_3y$ とおくと，②は
\begin{align*} \myBox{ヌ}\,X+Y\leqq\myBox{ネノ}~\cdots\cdots④ \end{align*}
と変形でき，③は
\begin{align*} \myBox{ハ}\,X-Y\geqq\myBox{ヒフ}~\cdots\cdots⑤ \end{align*}
と変形できる。
　$X,~Y$ が④と⑤を満たすとき，$Y$ のとり得る最大の整数の値は $\myBox{ヘ}$ である。また，$x,~y$ が②，③と $\log_3y=\mybox{ヘ}$ を同時に満たすとき， $x$ のとり得る最大の整数の値は $\myBox{ホ}$ である。

ヒロ

1つずつ変形しよう。

【ヌ～フの解答】
②より

\begin{align*} &\log_3x+\dfrac{1}{2}\log_3y\leqq5 \\[4pt] &X+\dfrac{1}{2}Y\leqq5 \\[4pt] &2X+Y\leqq10 \end{align*}

③より

\begin{align*} &\log_{81}y-\log_{81}x^3\leqq1 \\[4pt] &\log_3y^{\frac{1}{4}}-\log_3x^{\frac{3}{4}}\leqq1 \\[4pt] &\log_3y-3\log_3x\leqq4 \\[4pt] &3X-Y\geqq-4 \end{align*}